三角函数公式整理

诱导公式及其相关常见题型

part 1

奇变偶不变，符号看象限

\[\begin{aligned} &\cos {\left(2\pi + \alpha \right)} =\cos \alpha\\ &\sin {\left( 2\pi + \alpha \right) } = \sin \alpha\\ &\tan {\left( 2\pi + \alpha \right)} = \tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\pi + \alpha \right)} =-\cos \alpha\\ &\sin {\left( \pi + \alpha \right) } = -\sin \alpha\\ &\tan {\left( \pi + \alpha \right)} = \tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(-\alpha \right)} =\cos \alpha\\ &\sin {\left(-\alpha \right) } = -\sin \alpha\\ &\tan {\left(-\alpha \right)} = -\tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\pi - \alpha \right)} =-\cos \alpha\\ &\sin {\left( \pi - \alpha \right) } = \sin \alpha\\ &\tan {\left( \pi - \alpha \right)} = -\tan \alpha \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\frac \pi 2 - \alpha \right)} =\sin \alpha\\ &\sin {\left( \frac \pi 2 - \alpha \right) } = \cos \alpha\\ \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &\cos {\left(\frac \pi 2 + \alpha \right)} =-\sin \alpha\\ &\sin {\left( \frac \pi 2 + \alpha \right) } = \cos \alpha\\ \end{aligned} \]

part2

\[\sin^2x+\cos^2x=1 \]

• 对于高次三角函数式子的化简，一般直接因式分解或者构造\(\sin^2x+\cos^2x=1\)来达到降幂目的。
• 对于整式，可以将分母看做\(\sin^2x+\cos^2x\)将式子化为齐次式，然后同除
  \(\cos^2x\)可以得到一个与\(\tan x\)相关的式子。然后可以直接解方程或联立其他式子得到\(\tan x\)。
• 对于根式，一般做法是将其中的\(1\)化为\(\sin^2 x + \cos^2 x\)然后利用完全平方公式去根号。

part3

\(\cos x \sin x\)与\(\sin x +\cos x,\sin x - \cos x\)的关系
直接利用完全平方公式即可。
或者也可以利用齐次式化成\(\tan x\)，然后解直角三角形得到\(\sin x\)和\(\cos x\)，但是一般来说这样计算量会巨大，所以更正常的做法是直接利用完全平方公式。

part4

\(\sin x\)和\(\cos x\)为方程\(x^2+ax+a=0\)的两根。求值
利用韦达定理，列出两个方程，然后再利用\(\cos^2x+\sin^2x=1\)构造方程联立求解。注意判断\(\Delta>0\)。

part5

三角形\(ABC\)中，\(\sin(A+B-C)=\sin(A-B+C)\)，三角形形状？
注意分类。
\(\sin \alpha=\sin \alpha\)->等腰。
\(\sin \alpha=\sin {(\pi -\alpha)}\)->直角。

part7

三角函数图象。
\(y=\sin x\)的对称轴为\(x=k\pi+\frac \pi 2,k\in Z\)，对称中心为\((k\pi,0),k\in Z\)，奇函数
\(y=\cos x\)的对称轴为\(x=k\pi,k\in Z\)，对称中心为\((k\pi+\frac \pi 2,0),k\in Z\)，偶函数
\(y=\tan x\)的对称轴为\(x=k\pi+\frac \pi 2,k\in Z\)，对称中心为\((k\pi,0),k\in Z\)，奇函数

part8

函数\(y=A\sin(\omega x+\varphi)\)
最小正周期\(T=\frac {2\pi} \omega\)。
\(A\)为函数最值到\(x\)轴的距离。
利用\(y=\sin x\)构造该函数时，先平移再拉伸与先拉伸再平移是不同的。
如：将\(y=\sin x\)向右平移三个单位长度，再将横坐标放大到原来的\(\frac 1 2\)倍，得到图象\(y=\sin(2x+3)\)。将\(y=\sin x\)，将横坐标放大到原来的\(\frac 1 2\)倍，再向右平移三个单位长度，得到图象\(y=\sin[2(x+3)]=\sin(2x+6)\)。