BZOJ1233: [Usaco2009Open]干草堆tower

Description

奶牛们讨厌黑暗。 为了调整牛棚顶的电灯的亮度，Bessie必须建一座干草堆使得她能够爬上去够到灯泡 。一共有N大包的干草（1<=N<=100000）(从1到N编号)依靠传送带连续的传输进牛棚来。第i包干草有一个 宽度W_i(1<=w_i<=10000)。所有的干草包的厚度和高度都为1. Bessie必须利用所有N包干草来建立起干草堆，并且按照他们进牛棚的顺序摆放。她可以相放多少包就放 多少包来建立起tower的地基（当然是紧紧的放在一行中）。接下来他可以放置下一个草包放在之前一级 的上方来建立新的一级。注意：每一级不能比下面的一级宽。她持续的这么放置，直到所有的草包都被安 置完成。她必须按顺序堆放，按照草包进入牛棚的顺序。说得更清楚一些：一旦她将一个草包放在第二级 ，她不能将接下来的草包放在地基上。 Bessie的目标是建立起最高的草包堆。

Input

第1行：一个单一的整数N。 第2~N+1行：一个单一的整数:W_i。

Output

第一行：一个单一的整数，表示Bessie可以建立的草包堆的最高高度。

Sample Input

3
1
2
3

Sample Output

2
输出说明：
前两个（宽度为1和2的）放在底层，总宽度为3，在第二层放置宽度为3的。
+----------+
| 3 |
+---+------+
| 1 | 2 |
+---+------+

Solution

要猜一个神仙结论才能优化\(dp\)，否则写到死也是\(n^2\)的...。
结论：一定存在一种方案，在保证层数最高的同时，底层宽度最小。证明引用zkw的：

任意取出一个能使层数最高的方案，设有CA层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为Ai；任取一个能使底边最短的方案，设有CB层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为Bi。
显然A1>=B1,ACB<=BCB，这说明至少存在一个k属于(1,CB)，满足Ak-1>=Bk-1且Ak<=Bk。也就是说，方案 A 第K 层完全被方案 B 第K 层包含。
构造一个新方案，第K 层往上按方案 A，往下按方案 B，两边都不要的块放中间当第K 层。新方案的层数与 A 相同，而底边长度与 B 相同。
证毕。

那么现在问题就转化为了倒推，然后要找一个编号最小的点\(j\)，满足\(s[j-1]-s[i-1]>=f[j]\)。这个可以单调队列维护\(f[j]-s[j-1]\)的\(\min\)即可。弹出队头的话需要更改一下，因为肯定要选一个合法的答案，所以要先看\(l+1\)这个位置可不可行，如果可行就弹出队头（因为要找到的是满足条件的，编号最小的点\(j\)，而我们是倒着把点放进单调队列的，所以要找单调队列中最后一个满足条件的点\(j\)来转移）。复杂度\(O(n)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace io {
char buf[1<<21], *p1 = buf, *p2 = buf;
inline char gc() {
    if(p1 != p2) return *p1++;
    p1 = buf;
    p2 = p1 + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin);
    return p1 == p2 ? EOF : *p1++;
}
#define G gc

#ifndef ONLINE_JUDGE
#undef G
#define G getchar
#endif

template<class I>
inline void read(I &x) {
    x = 0; I f = 1; char c = G();
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = G(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0'; c = G(); }
    x *= f;
}
template<class I>
inline void write(I x) {
    if(x == 0) {putchar('0'); return;}
    I tmp = x > 0 ? x : -x;
    if(x < 0) putchar('-');
    int cnt = 0;
    while(tmp > 0) {
        buf[cnt++] = tmp % 10 + '0';
        tmp /= 10;
    }
    while(cnt > 0) putchar(buf[--cnt]);
}

#define in(x) read(x)
#define outn(x) write(x), putchar('\n')
#define out(x) write(x), putchar(' ')

} using namespace io;

#define ll long long
const int N = 100010;

int n, a[N], f[N], g[N], s[N], q[N];

int main() {
	read(n); 
	for(int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i]), s[i] = s[i - 1] + a[i];
	int l = 1, r = 1;
	q[1] = n + 1;
	for(int i = n; i; --i) {
		while(l < r && s[q[l + 1] - 1] - s[i - 1] >= f[q[l + 1]]) ++l;
		f[i] = s[q[l] - 1] - s[i - 1]; g[i] = g[q[l]] + 1;
		while(l < r && f[i] - s[i - 1] < f[q[r]] - s[q[r] - 1]) --r;
		q[++r] = i;
	}
	outn(g[1]);
}