BZOJ2306: [Ctsc2011]幸福路径

Description

有向图 G有n个顶点 1, 2, …, n，点i 的权值为 w(i)。现在有一只蚂蚁，从
给定的起点 v0出发，沿着图 G 的边爬行。开始时，它的体力为 1。每爬过一条
边，它的体力都会下降为原来的 ρ 倍，其中ρ 是一个给定的小于1的正常数。而
蚂蚁爬到某个顶点时的幸福度，是它当时的体力与该点权值的乘积。
我们把蚂蚁在爬行路径上幸福度的总和记为 H。很显然，对于不同的爬行路
径，H 的值也可能不同。小 Z 对 H 值的最大可能值很感兴趣，你能帮助他计算
吗？注意，蚂蚁爬行的路径长度可能是无穷的。

Input

每一行中两个数之间用一个空格隔开。
输入文件第一行包含两个正整数 n, m，分别表示 G 中顶点的个数和边的条
数。
第二行包含 n个非负实数，依次表示 n个顶点权值 w(1), w(2), …, w(n)。
第三行包含一个正整数 v0，表示给定的起点。
第四行包含一个实数 ρ，表示给定的小于 1的正常数。
接下来 m行，每行两个正整数 x, y，表示<x, y>是G的一条有向边。可能有
自环，但不会有重边。

Output

仅包含一个实数，即 H值的最大可能值，四舍五入到小数点后一位。

Sample Input

5 5
10.0 8.0 8.0 8.0 15.0
1
0.5
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5

Sample Output

18.0

HINT

对于 100%的数据， n ≤ 100， m ≤ 1000， ρ ≤ 1 – 10^-6

， w(i) ≤ 100 (i = 1, 2, …, n)。

Solution

把点权换成边权，钦定每条边的边权为终点点权，那么答案就是边权最大和+起点点权。

考虑这么一个转移方程

\[d^r[i][j]=d^{r-1}[i][k]+p^r*d^{r-1}[k][j] \]

其中\(d^r[i][j]\)表示路径i->j经过r条边的最大值。

注意到p<1，所以当r足够大时，p无限趋近与0.所以随便选个大一点的r就好了...（根据题解，可选r=50）类似倍增floyd那样跑一下，然而因为r只需要取到50就够了所以直接枚举就好了不用倍增。

这题还是没自己想出来啊，这个无限趋近于0根本没想到qwq。

注意一个点就是\(d^0[x][y]=p*val\)，因为已经经过一条边了。

/**************************************************************
    Problem: 2306
    User: henryy
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:1656 ms
    Memory:6204 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
double a[110], f[52][110][110];
int n, m, s;
 
int main() {
    double ans = 0, p = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lf", &a[i]);
    scanf("%d%lf", &s, &p);
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));
    for(int k = 0; k <= 50; ++k) for(int i = 1; i <= n; ++i) f[k][i][i] = 0;
    for(int i = 1, x, y; i <= m; ++i) scanf("%d%d", &x, &y), f[0][x][y] = p * a[y];
    for(int t = 1; t <= 50; ++t, p *= p) {
        for(int k = 1; k <= n; ++k) for(int i = 1; i <= n; ++i) for(int j = 1; j <= n; ++j) 
            f[t][i][j] = max(f[t][i][j], f[t-1][i][k] + p * f[t-1][k][j]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans = max(ans, a[s] + f[50][s][i]);
    printf("%.1lf\n", ans);
}