BZOJ4407: 于神之怒加强版
Description
给下N,M,K.求
Input
输入有多组数据，输入数据的第一行两个正整数T,K，代表有T组数据，K的意义如上所示，下面第二行到第T+1行，每行为两个正整数N,M，其意义如上式所示。
Output
如题
Sample Input
1 2
3 3
Sample Output
20
HINT
1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000
Solution
首先可以推一波式子
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m(i,j)^k\\
&=\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m[(i,j)=1]\\
&=\sum_{d=1}^nd^k\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\sum_{x|(i,j)}\mu(x)\\
&=\sum_{d=1}^nd^k\sum_{x=1}^n\mu(x)\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor
\end{aligned}
\]
发现\(d^k\)是个完全积性函数，那么可以\(O(\sqrt{n}*\sqrt{n})=O(n)\)完成单次询问了
但是这样跑不过
所以继续推
\[\begin{aligned}
&设T=dx\\
&=\sum_{d=1}^nd^k\sum_{x=1}^n\mu(x)\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dx}\rfloor\\
&=\sum_{T=1}^{n}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{d|T}\mu(\frac{T}{d})d^k
\end{aligned}
\]
发现后面那个玩意可以\(nlogn\)筛出来，那么可以做到\(O(nlogn+T\sqrt{n})\)，但是我被bzoj的土豆机卡了。。。所以要继续推。
研究一下后面那堆发现这是个狄利克雷卷积的形式，所以说这是个积性函数，但是莫比乌斯函数里面有个分数的话有点难写，于是根据狄利克雷卷积的定义改一下
\[\begin{aligned}
&设g(T)=\sum_{x|T}\mu(x)*(\frac{T}{x})^k\\
&g(i)=T^k*\sum_{x|T}\frac{\mu(x)}{x^k}
\end{aligned}
\]
考虑当T为质数的情况，设此时的\(T=p\)
\[\begin{aligned}
g(p)
&=p^k*\sum_{x|p}\frac{\mu(x)}{x^k}\\
&=p^k*\left(\frac{\mu(1)}{1^k}+\frac{\mu(p)}{p^k}\right)\\
&=p^k*(1-\frac{1}{p^k})\\
&=p^k*\frac{p^k-1}{p^k}\\
&=p^k-1
\end{aligned}
\]
因为\(g\)是一个积性函数，所以当i,j互质显然有
\[g(i*j)=g(i)*g(j)
\]
考虑\(j\)为\(i\)的质因数的情况（因为在线性筛过程中\(j\)必为质数）
\[\begin{aligned}
&设i=r*j^c(k内不含质因子j)\\
&g(i*j)\\
&=g(r*j^{c+1})\\
&=g(r)*g(j^{c+1})\\
&考虑g(j^{c+1})=\sum_{x|j^{c+1}}\frac{\mu(x)}{x^k}\\
&显然只有当x=1或j时\mu(x)才为1，其他情况为0所以当j的指数大于2时，g值是相同的\\
&所以g(j^{c+1})=g(j^c)\\
&又因为r和j^{c+1}和j^c互质，所以有\\
&g(i*j)=g(r*j^{c+1})=g(r)*g(j^{c+1})=g(r)*g(j^c)=g(r*j^c)=g(i)
\end{aligned}
\]
综上可得，在线性筛过程中
\[g(i*prime[j])=
\begin{cases}
g(i)*g(prime[j])(i与prime[j]互质)\\
g(i)(prime[j]为i的质因子)
\end{cases}
\]
所以我们用线性筛筛出这个函数\(g\)，就可以\(O(n+T\sqrt{n})\)的效率了
这题我写了大半天...主要就卡在最后这个积性函数的推导...
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
#define N 5000050
ll n, m;
ll p[N], cnt, mu[N];
bool vis[N];
ll F[N], k, id[N], sum[N];
ll power(ll a, ll b) { ll ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return ans % mod;
}
void init() {
cnt = 0;
mu[1] = id[1] = F[1] = 1;
for(ll i = 2; i < N; ++i) {
if(!vis[i])
id[i] = power(i, k) % mod, mu[i] = -1, p[++cnt] = i, F[i] = ((id[i] - 1) * power(id[i], mod - 2) + mod) % mod;
for(ll j = 1; j <= cnt && 1ll * p[j] * i < N; ++j) {
vis[i * p[j]] = 1;
id[i * p[j]] = id[i] * id[p[j]] % mod;
if(i % p[j] == 0) { F[i * p[j]] = F[i] % mod; break; }
mu[i * p[j]] = -mu[i];
F[i * p[j]] = F[i] * F[p[j]] % mod;
}
}
for(ll i = 1; i < N; ++i) sum[i] = (sum[i - 1] + F[i] * id[i] % mod) % mod;
}
ll calc(ll n, ll m) {
ll ans = 0;
if(n > m) swap(n, m);
for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = min(n / (n / l), m / (m / l));
ans += 1ll * (n / l) % mod * (m / l) % mod * (sum[r] - sum[l - 1] + mod) % mod;
}
return ans % mod;
}
int main() {
int T; scanf("%d%lld", &T, &k);
init();
while(T--) {
scanf("%lld%lld", &n, &m);
printf("%lld\n", (calc(n, m) + mod) % mod);
}
}
