BZOJ3994: [SDOI2015]约数个数和

Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^md(i*j) \]

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

Solution

做这题首先要知道约数函数\(d(x)\)的一个性质，不然完全做不下去
注：\((x,y)\)表示\(gcd(x,y)\)

\[\large d(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1] \]

证明的话..不难理解，但是写一遍很麻烦，所以直接看这篇文章吧...
https://blog.csdn.net/ab_ever/article/details/76737617

所以我们就可以开始推式子了

\[\large{ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^md(i*j)\\ &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)=1]\\ &=\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{y}\rfloor}[(x,y)=1]\\ &=\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor[(x,y)=1]\\ &=\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor\sum_{d|(x,y)}\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{n}\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor*\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor\\ &=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor\\ \end{aligned}\\ 设g(x)=\sum_{i=1}^{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\\ 则代入原式可得\\ \begin{aligned} &\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor\\ &=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)*g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)*g(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor) \end{aligned} } \]

那么处理g的函数值和莫比乌斯函数的函数值，就可以\(O(T\sqrt{n})\)处理了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define N 50010
int p[N], vis[N], mu[N], sum[N];
int n, m, cnt;
ll ans = 0, g[N];

void init() {
	mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i < N; ++i) {
		if(!vis[i]) p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
		for(int j = 1; j <= cnt && i * p[j] < N; ++j) {
			vis[i * p[j]] = 1;
			if(i % p[j] == 0) break;
			mu[i * p[j]] -= mu[i];
		}
	}
	for(int i = 1; i < N; ++i) {
		sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
		for(int l = 1, r; l <= i; l = r + 1) {
			r = i / (i / l);
			g[i] += 1ll * (r - l + 1) * (i / l);
		}
	}
}

int main() {
	init();
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		if(n > m) swap(n, m);
		ans = 0;
		for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
			r = min(n/(n/l), m/(m/l));
			ans += 1ll * (sum[r] - sum[l - 1]) * g[n / l] * g[m / l];
//			printf("%d %d %d\n", (sum[r] - sum[l - 1]), g[n / l], g[m / l]);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}