基本子串结构

参考 xtq 2023 年论文《一类基础子串数据结构》

定义

• 出现次数：对于一个串 \(s\)，\(\mathrm{occ}(t)\) 表示 \(t\) 在 \(s\) 中出现次数。
• 扩展串：\(\mathrm{ext(t)}\) 表示最长的包含 \(t\) 的串 \(t'\) 满足 \(\mathrm{occ(t')} = \mathrm{occ(t)}\)，分别定义 \(\mathrm{Lext(t)}\) 和 \(\mathrm{Rext(t)}\) 表示以 \(t\) 为后 / 前缀的最长串 \(t'\) 满足 \(\mathrm{occ(t')} = \mathrm{occ(t)}\)。
• 等价类：两个字符串 \(x, y\) 等价当且仅当 \(\mathrm{ext(x)} = \mathrm{ext(y)}\)，特别地，若 \(\mathrm{ext(t)} = t\)，称 \(t\) 为所在等价类的代表元。记作 \(\mathrm{rep(A)}\)

容易证明 \(\mathrm{ext, Lext, Rext}\) 都是良定义的。我们现在想建立一种字符串结构，一个节点代表一个等价类，且可以实现在两边加字符链接到新的等价类。

压缩后缀自动机

考虑 SAM 上的一个节点，若其出度 > 1，则其右侧代表的内容不为 1，显然不能向右扩展；若表示一个后缀节点，往右边扩展就没东西了，也不能向右扩展。若 \(x\) 既不表示后缀，且出度 = 1，说明其每次出现后面加的字符都是一样的，则此时 \(x\) 可以和其唯一出边 \(y\) 合并，他们对应的 \(\mathrm{ext}\) 相同，重复这样的合并，就有：

• 压缩后缀自动机：将 SAM 上出度为 1 且不为后缀的节点与其出边合并，得到的自动机称为压缩后缀自动机。

上图为 abbab 及其反串的 SAM 及压缩 SAM。

你可以认为压缩 SAM 合并了所有的 \(\mathrm{ext}\) 等价类，分别得到了后缀的等价类和前缀的等价类，而且两个压缩 SAM 上的节点应该是一一对应的（\(\mathrm{ext}\) 和正反无关）因此：

• 对称压缩后缀自动机：将两个压缩 SAM 的对应节点结合，同时保留两个自动机上的转移，得到的结构为对称压缩后缀自动机。

将所有字符串按照第一次出现位置 \([l, r]\) 画在平面坐标系中，将所有在同一个等价类的字符串染上同一种颜色，得到的结构称为基本子串结构。

本质不同的块和压缩 SAM 上的节点一一对应，压缩 SAM 上的边可以看作横向或者竖向（分别表示反串 SAM 和 正串 SAM）的转移。

一些性质：

• 每一块是一个上端和左端对齐的阶梯形网格图。
• 每种本质不同的块 \(C\)，出现了 \(\mathrm{occ(rep(C))}\) 次。
• 一块中的一行对应一个 endpos 等价类，一列对应一个 startpos 等价类。
• 定义等价类 \(C\) 的周长为行数与列数之和，则所有本质不同的块周长之和为 \(\mathcal{O(n)}\) 级别。