杨表学习笔记

本文参考 袁方舟 《浅谈杨氏矩阵在信息学竞赛中的应用》

杨表

一.定义

杨表（Young tableaux）又称杨氏矩阵。

设有一个 $n$ 的整数拆分 $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m), \sum\limits_{i = 1}^{m}\lambda_i = n$，满足 $\lambda_i \geq \lambda_{i+1}$。称为 $\lambda \vdash n$。

杨图：一个形状为 $\lambda$ 的杨图是一个表格，，第 $i$ 行有 $\lambda_i$ 个方格，分别为 $(i, 1),(i,2),\dots,(i,\lambda_i)$， 与 Ferrers 图类似。

标准杨表：讲 $1, 2, \dots, n$ 的数填入杨图，满足每行每列元素单调递增的图案，例如：

$\begin{bmatrix} 1 \ \ 4 \ \ 7 \ \ 8 \\ 2 \ \ 5 \ \ 10 \ \ \\ 3 \ \ 9 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{bmatrix}$

半标准杨表：将杨图填入数字，满足每行单调不降，每列单调递增的方案

二.杨表的插入和删除

1.RSK算法

当插入一个数 $x$ 时，从第一行开始找第一个大于 $x$ 的数。若不存在则插入末尾并退出；否则设该数为 $y$， 交换 $x,y$， 并对下一列继续操作。

正确性显然，代码也非常简单。

对于删除，我们只希望将处在边界 $(x,y)$（一个位置 $(x,y)$ 被认为是边界，当且仅当 $(x+1,y)$ 和 $(x,y+1)$ 都没有数）删除，可以看做插入操作的逆操作。

删除一个处在 $i$ 行位置的 $x$ 时，当 $i = 1$ 直接退出；否则，找到上一行最大的小于 $x$ 的数 $y$, 交换 $x,y$， 并移步至上一行。

容易发现，当最后一次插入的位置为 $(x,y)$ 时，若我们删除 $(x,y)$，则杨表还原为插入前的模样。

2.记录表

对于排列 $p_i$ 而言，设当前插入位置为 $(x,y)$，定义 $P$ 为 $p_i$ 顺序插入得到的杨表，$Q$ 为在 $(x,y)$ 插入对应下标 $i$ 得到的杨表，称为记录表，并维持 $Q$ 和 $P$ 的形状相同。

例如：$p_i = [1,5,3,2,6,7,4]$，$P = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 4 \ \ 7 \\ 3 \ \ 6 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{bmatrix}$，$Q = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 5 \ \ 6 \\ 3 \ \ 7 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{bmatrix}$.

定理 2.1（Robinson-Schensted correspondence）：

一个 1 到 $n$ 的排列 $p_i$ 与一对形状相同的标准杨表形成双射，也就是说，设 $f_{\lambda}$ 为形状为 $\lambda$ 的填数方案，有：

$$\sum\limits_{\lambda \vdash n}f_{\lambda}^2 = n!$$

Proof：对于一个排列 $p_i$，有唯一对应的 $P$ 和 $Q$。反过来，给定杨表 $P,Q$，通过在 $P$ 中不断删去 $Q$ 中最大的元素（为 $p_i$ 的最后一个元素），唯一对应一个排列。

三.杨表与对称矩阵

一个大小为 $n \times m$ 的矩阵 $A$ 可以看做若干个数对 $(i,j)$，其中 $(i,j)$ 出现了 $A_{i,j}$ 次。

定义数对之间的比较为 $(a,b) \leq (c,d)$ 当且仅当 $a <c \or (a = c \and b \leq d)$。

那么一个矩阵可以看做若干个排序后的数对的排列，例如：

$A = \begin{bmatrix} 0 \ \ 1 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 2 \\ 1 \ \ 1 \ \ 0\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 3 \\ 2 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 1 \ \ 2\end{bmatrix}$ 。

定理 3.1：一组 $(u_1,v_1) \leq (u_2,v_2) \leq \dots \leq (u_k,v_k)$ 的序列对与一对相同形状的半标准杨表一一对应，此时的 $P$ 为对第二行 $v_i$ 进行操作得到的杨表，$Q$ 为记录下的 $u_i$。

例如：$\begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 3 \ 2 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 1 \ \ 2\end{bmatrix} \rightarrow P = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 3 \ 2 \ \ 3 \ \ \ \ \end{bmatrix} \ \ \ \ Q = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ 3 \ \ 3 \ \ \ \ \end{bmatrix}$

进一步观察，我们可以得到：

按如下操作将序列对分成若干组：初始包含 $u_1,v_1$（当前的），设当前长度为 $m$，若 $v_i < v_m$ 则加入 $i$ 。依次操作得到的集合记作 $A_i$。然后在原数组中删除 $A_i$。

则杨表 $P$ 的第一行第 $i$ 个元素为 $A_{i,1}$，杨表 $Q$ 的第一行第 $i$ 个元素为 $A_{i,siz_i}$。

定理 3.2：设 $X = \begin{bmatrix} u_1 \ \ u_2 \dots u_k \\ v_1 \ \ v_2 \dots v_k\end{bmatrix},X^{-1} = \begin{bmatrix} v_{i_1} \ \ v_{i_2} \dots v_{i_k} \\ u_{i_1} \ \ u_{i_2} \dots u_{i_k} \end{bmatrix}$，则 $(P_X,Q_X) =(Q_{X^{-1}},P_{X^{-1}})$。

定理 3.3：一个 $n \times n$ 的对称矩阵 $M$ 与一个半标准的 $P_{M}$ 一一对应。

$\begin{bmatrix} 0 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \\ 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 2 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \\ 0 \ \ 2 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 1 \end{bmatrix} \rightarrow X = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 4 \ \ 4 \ \ 5 \\ 2 \ \ 1 \ \ 4 \ \ 4 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 5\end{bmatrix} \rightarrow P_X = Q_X = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 5\\ 2 \ \ 4 \ \ 4 \ \ \ \ \end{bmatrix}$

Proof：由于 $M$ 为对称矩阵，因此 $X_M = X_{M^{T}}$。

定理 3.4 定义一个 $n \times n$ 矩阵 $M$ 的迹为 $\mathrm{tr}(M) = \sum\limits_{i = 1}^{n}M_{i,i}$。则若 $M$ 为对称矩阵，$M$ 对应的半标准杨表 $P_M$ 中长度为奇数的列数 $= \mathrm{tr}(M)$。

对合排列

如果一个矩阵每一行每一列都恰好有一个数且和为 1，那么这个矩阵就是一个排列。这样一个矩阵对应的杨表为标准杨表。

若一个 1 到 $n$ 的排列 $p_i$ 满足所有置换长度 $\leq 2$，则称 $p_i$ 为一个对合排列。

一个对合排列 $p_i$， 交换 $p_i$ 和 $p_{p_i}$ 后排列不变。可以看做 $M = M^{T}$。

定理 3.4 ：大小为 $n$ 的标准杨表个数与长度为 $n$ 的对合排列数形成双射。

该定理给出了大小为 $n$ 的标准杨表的递推公式：$f_n = f_{n-1}+(n-1)f_{n-2}$。

四.杨表与 LIS

LIS（Longest Increasing Subsequence）为最长上升子序列。

回顾杨表插入的过程，我们发现，杨表的第一行就是 LIS 长度（当然对应位置的值不一定相同）。

若需要求 $k$ 个不相交的 LIS，即是杨表前 $k$ 行的长度。

例：

[CTSC2017]最长上升子序列

根据 Dilworth 定理，最小链覆盖等于最长反链，故 LIS 不超过 $k$ 的子序列可以看做不超过 $k$ 个 LDS 序列的最长长度。

直接暴力插入元素是 $O(n^2 \log n)$ 的，考虑优化。

我们考察将一个排列顺序加入和逆序加入形成的杨表，例如 $[2,4,1,5,3]$ 为：$\begin{bmatrix} 1 \ \ 3 \ \ 5 \\ 2 \ \ 4 \ \ \ \ \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \\ 3 \ \ 4 \\ 5 \ \ \ \ \end{bmatrix}$，会发现它们互为共轭关系。

对于杨表中的一个元素 $(x,y)$，显然 $x,y$ 至少有一者 $\leq \sqrt{n}$。因此，我们考虑只维护前 $\sqrt n$ 的杨表。对于 $l > \sqrt n$ 的杨表，我们维护其转置，也就是若在 $(x,y)$ 插入元素（$y > \sqrt n$），就把第 $y$ 行元素 + 1。

因此维护两个杨表即可，查询可以用树状数组维护。

时间复杂度 $O(n \sqrt n \log n+q \log n)$。

五.杨表钩子公式

对于一个杨图 $\lambda$ 而言，一个位置 $(x,y)$ 的钩子（hook）等于其右边和下边的元素个数 + 1，记做 $h_{\lambda}(x,y)$。

由于该函数的计数区域类似一个钩子，所以称为钩子公式。

定理 5.1（钩子公式）：

$$f_{\lambda} = \dfrac{n!}{\prod h_{\lambda}({i,j})} = n!\dfrac{\prod\limits_{1 \leq i < j \leq m}(\lambda_i - i -\lambda_j+j)}{\prod\limits_{i = 1}^{m}(\lambda_i+m - i)!}$$

可以看做有 $\dfrac 1{h_{\lambda}(x,y)}$ 的概率选出的最小数为 $(x,y)$， 把所有位置的概率相乘就是答案。

例：[BJWC2018]最长上升子序列

由于一个排列的 LIS 长度为杨表第一行长度，我们拆分数枚举可能的杨表形状 $\lambda \vdash n$，根据钩子公式算出排列个数的平方就是答案。

一个很有用的事实是 ：拆分数 $p(n) \sim \dfrac{1}{4n\sqrt 3}\exp(\pi\sqrt{\dfrac{2n}3})$，