杨表学习笔记

本文参考 袁方舟 《浅谈杨氏矩阵在信息学竞赛中的应用》

杨表

一.定义

杨表（Young tableaux）又称杨氏矩阵。

设有一个 \(n\) 的整数拆分 \(\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m), \sum\limits_{i = 1}^{m}\lambda_i = n\)，满足 \(\lambda_i \geq \lambda_{i+1}\)。称为 \(\lambda \vdash n\)。

杨图：一个形状为 \(\lambda\) 的杨图是一个表格，，第 \(i\) 行有 \(\lambda_i\) 个方格，分别为 \((i, 1),(i,2),\dots,(i,\lambda_i)\)， 与 Ferrers 图类似。

标准杨表：讲 \(1, 2, \dots, n\) 的数填入杨图，满足每行每列元素单调递增的图案，例如：

\(\begin{bmatrix} 1 \ \ 4 \ \ 7 \ \ 8 \\ 2 \ \ 5 \ \ 10 \ \ \\ 3 \ \ 9 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{bmatrix}\)

半标准杨表：将杨图填入数字，满足每行单调不降，每列单调递增的方案

二.杨表的插入和删除

1.RSK算法

当插入一个数 \(x\) 时，从第一行开始找第一个大于 \(x\) 的数。若不存在则插入末尾并退出；否则设该数为 \(y\)， 交换 \(x,y\)， 并对下一列继续操作。

正确性显然，代码也非常简单。

对于删除，我们只希望将处在边界 \((x,y)\)（一个位置 \((x,y)\) 被认为是边界，当且仅当 \((x+1,y)\) 和 \((x,y+1)\) 都没有数）删除，可以看做插入操作的逆操作。

删除一个处在 \(i\) 行位置的 \(x\) 时，当 \(i = 1\) 直接退出；否则，找到上一行最大的小于 \(x\) 的数 \(y\), 交换 \(x,y\)， 并移步至上一行。

容易发现，当最后一次插入的位置为 \((x,y)\) 时，若我们删除 \((x,y)\)，则杨表还原为插入前的模样。

2.记录表

对于排列 \(p_i\) 而言，设当前插入位置为 \((x,y)\)，定义 \(P\) 为 \(p_i\) 顺序插入得到的杨表，\(Q\) 为在 \((x,y)\) 插入对应下标 \(i\) 得到的杨表，称为记录表，并维持 \(Q\) 和 \(P\) 的形状相同。

例如：\(p_i = [1,5,3,2,6,7,4]\)，\(P = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 4 \ \ 7 \\ 3 \ \ 6 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{bmatrix}\)，\(Q = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 5 \ \ 6 \\ 3 \ \ 7 \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{bmatrix}\).

定理 2.1（Robinson-Schensted correspondence）：

一个 1 到 \(n\) 的排列 \(p_i\) 与一对形状相同的标准杨表形成双射，也就是说，设 \(f_{\lambda}\) 为形状为 \(\lambda\) 的填数方案，有：

\[\sum\limits_{\lambda \vdash n}f_{\lambda}^2 = n! \]

Proof：对于一个排列 \(p_i\)，有唯一对应的 \(P\) 和 \(Q\)。反过来，给定杨表 \(P,Q\)，通过在 \(P\) 中不断删去 \(Q\) 中最大的元素（为 \(p_i\) 的最后一个元素），唯一对应一个排列。

三.杨表与对称矩阵

一个大小为 \(n \times m\) 的矩阵 \(A\) 可以看做若干个数对 \((i,j)\)，其中 \((i,j)\) 出现了 \(A_{i,j}\) 次。

定义数对之间的比较为 \((a,b) \leq (c,d)\) 当且仅当 $a <c \or (a = c \and b \leq d) $。

那么一个矩阵可以看做若干个排序后的数对的排列，例如：

\(A = \begin{bmatrix} 0 \ \ 1 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 2 \\ 1 \ \ 1 \ \ 0\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 3 \\ 2 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 1 \ \ 2\end{bmatrix}\) 。

定理 3.1：一组 \((u_1,v_1) \leq (u_2,v_2) \leq \dots \leq (u_k,v_k)\) 的序列对与一对相同形状的半标准杨表一一对应，此时的 \(P\) 为对第二行 \(v_i\) 进行操作得到的杨表，\(Q\) 为记录下的 \(u_i\)。

例如：$ \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 3 \ 2 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 1 \ \ 2\end{bmatrix} \rightarrow P = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 3 \ 2 \ \ 3 \ \ \ \ \end{bmatrix} \ \ \ \ Q = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ 3 \ \ 3 \ \ \ \ \end{bmatrix}$

进一步观察，我们可以得到：

按如下操作将序列对分成若干组：初始包含 \(u_1,v_1\)（当前的），设当前长度为 \(m\)，若 \(v_i < v_m\) 则加入 \(i\) 。依次操作得到的集合记作 \(A_i\)。然后在原数组中删除 \(A_i\)。

则杨表 \(P\) 的第一行第 \(i\) 个元素为 \(A_{i,1}\)，杨表 \(Q\) 的第一行第 \(i\) 个元素为 \(A_{i,siz_i}\)。

定理 3.2：设 \(X = \begin{bmatrix} u_1 \ \ u_2 \dots u_k \\ v_1 \ \ v_2 \dots v_k\end{bmatrix},X^{-1} = \begin{bmatrix} v_{i_1} \ \ v_{i_2} \dots v_{i_k} \\ u_{i_1} \ \ u_{i_2} \dots u_{i_k} \end{bmatrix}\)，则 \((P_X,Q_X) =(Q_{X^{-1}},P_{X^{-1}})\)。

定理 3.3：一个 \(n \times n\) 的对称矩阵 \(M\) 与一个半标准的 \(P_{M}\) 一一对应。

\(\begin{bmatrix} 0 \ \ 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \\ 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 2 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \\ 0 \ \ 2 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \\ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 1 \end{bmatrix} \rightarrow X = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 4 \ \ 4 \ \ 5 \\ 2 \ \ 1 \ \ 4 \ \ 4 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 5\end{bmatrix} \rightarrow P_X = Q_X = \begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \ \ 2 \ \ 5\\ 2 \ \ 4 \ \ 4 \ \ \ \ \end{bmatrix}\)

Proof：由于 \(M\) 为对称矩阵，因此 \(X_M = X_{M^{T}}\)。

定理 3.4 定义一个 \(n \times n\) 矩阵 \(M\) 的迹为 \(\mathrm{tr}(M) = \sum\limits_{i = 1}^{n}M_{i,i}\)。则若 \(M\) 为对称矩阵，\(M\) 对应的半标准杨表 \(P_M\) 中长度为奇数的列数 $ = \mathrm{tr}(M)$。

对合排列

如果一个矩阵每一行每一列都恰好有一个数且和为 1，那么这个矩阵就是一个排列。这样一个矩阵对应的杨表为标准杨表。

若一个 1 到 \(n\) 的排列 \(p_i\) 满足所有置换长度 \(\leq 2\)，则称 \(p_i\) 为一个对合排列。

一个对合排列 \(p_i\)， 交换 \(p_i\) 和 \(p_{p_i}\) 后排列不变。可以看做 \(M = M^{T}\)。

定理 3.4 ：大小为 \(n\) 的标准杨表个数与长度为 \(n\) 的对合排列数形成双射。

该定理给出了大小为 \(n\) 的标准杨表的递推公式：\(f_n = f_{n-1}+(n-1)f_{n-2}\)。

四.杨表与 LIS

LIS（Longest Increasing Subsequence）为最长上升子序列。

回顾杨表插入的过程，我们发现，杨表的第一行就是 LIS 长度（当然对应位置的值不一定相同）。

若需要求 \(k\) 个不相交的 LIS，即是杨表前 \(k\) 行的长度。

例：

[CTSC2017]最长上升子序列

根据 Dilworth 定理，最小链覆盖等于最长反链，故 LIS 不超过 \(k\) 的子序列可以看做不超过 \(k\) 个 LDS 序列的最长长度。

直接暴力插入元素是 \(O(n^2 \log n)\) 的，考虑优化。

我们考察将一个排列顺序加入和逆序加入形成的杨表，例如 \([2,4,1,5,3]\) 为：\(\begin{bmatrix} 1 \ \ 3 \ \ 5 \\ 2 \ \ 4 \ \ \ \ \end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix} 1 \ \ 2 \\ 3 \ \ 4 \\ 5 \ \ \ \ \end{bmatrix}\)，会发现它们互为共轭关系。

对于杨表中的一个元素 \((x,y)\)，显然 \(x,y\) 至少有一者 \(\leq \sqrt{n}\)。因此，我们考虑只维护前 \(\sqrt n\) 的杨表。对于 \(l > \sqrt n\) 的杨表，我们维护其转置，也就是若在 \((x,y)\) 插入元素（\(y > \sqrt n\)），就把第 \(y\) 行元素 + 1。

因此维护两个杨表即可，查询可以用树状数组维护。

时间复杂度 \(O(n \sqrt n \log n+q \log n)\)。

五.杨表钩子公式

对于一个杨图 \(\lambda\) 而言，一个位置 \((x,y)\) 的钩子（hook）等于其右边和下边的元素个数 + 1，记做 \(h_{\lambda}(x,y)\)。

由于该函数的计数区域类似一个钩子，所以称为钩子公式。

定理 5.1（钩子公式）：

\[f_{\lambda} = \dfrac{n!}{\prod h_{\lambda}({i,j})} = n!\dfrac{\prod\limits_{1 \leq i < j \leq m}(\lambda_i - i -\lambda_j+j)}{\prod\limits_{i = 1}^{m}(\lambda_i+m - i)!} \]

可以看做有 \(\dfrac 1{h_{\lambda}(x,y)}\) 的概率选出的最小数为 \((x,y)\)， 把所有位置的概率相乘就是答案。

例：[BJWC2018]最长上升子序列

由于一个排列的 LIS 长度为杨表第一行长度，我们拆分数枚举可能的杨表形状 \(\lambda \vdash n\)，根据钩子公式算出排列个数的平方就是答案。

一个很有用的事实是 ：拆分数 \(p(n) \sim \dfrac{1}{4n\sqrt 3}\exp(\pi\sqrt{\dfrac{2n}3})\)，