群

群论初步，Burnside 引理和 Polya 定理

群

一个集合 $G$ 和一个二元运算 $\times$ ： $G \times G \to G$， 构成一个群 $(G,\times)$， 当且仅当：

1. 封闭性， 对于任意 $g, h \in G$， $g \times h \in G$
2. 结合律， $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
3. 存在单位元 $e \in G$， $\forall g \in G$， $e \times g = g$
4. $\forall g \in G$， $\exist g^{-1}\in G$， 使得 $g \times g^{-1} = e$

不引起歧义下，可以用 $G$ 代替 $(G,\times)$ 表示群。

Examples：

• $G$ 为整数集， $\times$ 为加法。
• 模 $n$ 加法群。
• 模质数 $p$ 乘法群。
• $n$ 阶可逆矩阵乘法群。

若一个代数系统满足结合律，叫半群；如果满足结合律和存在单位元，叫幺半群。所以群的单位元又叫做幺元。

对于一个群 $G$， 如果 $G'$ 是 $G$ 的一个子集， 而且 $(G', \times)$ 构成一个群，则称群 $G'$ 是 $G$ 的子群， 记作 $G' \leq G$ 。

若 $G$ 是有限集， 则称群 $(G,\times)$ 为有限群；反之成为无限群。

群运算一般不满足交换律， 满足交换律的群叫做阿贝尔群（或者叫交换群）。

阿贝尔群中的运算同时满足结合律和交换律，一般可以称为加法，单位元一般叫零元。

一些定理

• 单位元唯一。

  若 $e_1， e_2$ 为群 G 的单位元， 有 $e_1 = e_1e_2 = e_2$

• 逆元唯一。

  对于群 $G$ 中元素 $g$， 若 $h_1, h_2$ 为 $g$ 的逆元， 有 $h_1 = h_1e = h_1 g h_2 = eh_2 = h_2$

• 幂和阶

  元素 $g \in G$ 的阶是满足 $g^m = e$ 的最小的正整数 $m$， 若不存在这样的 $m$， 称 $g$ 有无限阶。

  元素 $a$ 的阶记作 $|a|$。

• 有限群中任意 $g \in G$ 的阶都是有限的。

定理 1 ：$|a^k| = \dfrac{|a|}{\gcd(k, |a|)}$。

定理 2：若 $|a| = m, |b| = n$，$ab = ba$，$\gcd(n, m) = 1 \Rightarrow |ab| = nm$。

定理 3：在交换群中，设所有元素的阶的最大值为非无穷大数 $m$，则所有元素的阶都是 $m$ 的因数。

Proof：反证法。假设存在 $|a| = n$ 且 $n \nmid m$，则存在素数 $p$，使得 $p$ 在 $n$ 中次数大于 $m$ 中次数。

设 $b^{m} = \epsilon$， $n = p^Nn', m = p^Mm'$，则 $|a^{n'}| = p^N$，$|b^{p^M}| = m'$。

又 $p^N \perp m'$，故 $|a^{n'}b^{p^M}| = m'p^N > m$。

群的子系统入门

Defination：子群是群的子集，且关于母群的运算成群，$H \leq G$ 意为 $H$ 是 $G$ 的子群。

平凡子群是阶为 1 或者为本身的子群，非平凡子群同理。$H < G$ 意为 $H$ 是 $G$ 的真子群。

定理 1（子群判定定理）：$H \leq G$ 当且仅当 $\forall a, b \in H$，$ab^{-1} \in H$。

定理 2（有限群子群判定定理）：对于有限群子群 $H$，$H \leq G$ 当且仅当 $H$ 满足封闭性。

子群之交一定是子群，子群之并不一定是子群。

定理 3：任意两个真子群的并均不可能得到母群。

Proof：考虑 $G = F \cup H$，则必定存在 $f \notin F,h \notin H$，则有 $f \in H, h \in F$，考虑 $hf$。

若 $hf \in F$，则 $h^{-1}hf \in F \Rightarrow f \in F$，矛盾。

同样可知 $hf \notin H$，因此 $hf \notin H,F$，则 $hf \notin G$。

特殊群

• 所有元素的阶有限的群叫做周期群，又叫做挠群。
• 除 $e$ 以外其他元素阶无限的群叫做无扭群。
• 非周期群且非无扭群称为混合群。
• 若 $S$ 是某群的非空真子集，则记号 $<S>$ 表示包含 $S$ 的子群中大小最小的哪一个（你可以简单理解为 $S$ 中元素不断自乘，最后得到的不变的群）。
• 元素 $a$ 的所有整数次幂构成的集合与 $\cdot$ 运算构成的群称为循环群，$a$ 为该循环群的主元。

定理 1：$|a| =<\{a\}>$。其逆定理为：$n$ 阶群为循环群当且仅当存在阶为 $n$ 的元素。

定理 2（循环群结构定理）：无限循环群同构于 $(Z,+)$，有限循环群同构于 $(\Omega_n, \times )$，$\Omega_n$ 表示 $n$ 阶单位根集合。

定理 3（循环群生成元定理）：无限循环群有两个生成元，其同构于 $(Z,+)$ 中的 $-1, +1$。有限循环群有 $\varphi(n)$ 个生成元，其同构于 $\{a|a \perp n\}$。

定理 4（循环子群定理）：循环群的子群仍然是循环群。

定理 5（循环子群个数定理）：无限循环群有无限多个子群。阶为 $n$ 的有限循环群有 $d(n)$ 个子群，且每个子群都是 $<a^k>$ 的形式。

变换群与置换群

一. 映射与同态 / 同构初步

Defination：映射是将集合 $A$ 的每个元素与集合 $B$ 的每个元素建立对应关系的操作。记作 $\varphi :A \rightarrow B$。此时，记 $A$ 中元素为原像 / 逆像，$B$ 中元素是像，称为 $a \mapsto b$。

Defination：一个元素 $a$ 在映射 $\varphi$ 下产生的像记作 $\varphi(a)$。集合 $G$ 在映射 $\varphi$ 下产生的像为 $\varphi(G)$。

$\varphi^{-1}(b)$ 为 $b$ 所有原像的集合（不一定表示映射的逆）

定理 1：向量空间对同纬度向量空间的线性映射，如是满射亦是单射，是单射亦是满射。

Defination：称两个群间映射 $\varphi :A \to B$ 是同态的，当且仅当 $\forall a_1 \mapsto b_1, a_2 \mapsto b_2$，有 $a_1a_2 \mapsto b_1b_2$，记作 $A \sim B$。

若 $\varphi$ 是单射称为单同态，是满射称为满同态。

Defination：若两个群之间存在双射同态，则称这两个群同构。记作 $G \cong H$。

二.置换群

Defination：变换是集合到自身的双射。

Defination：对于一个集合 $S$ 上所有的 $|S|!$ 个置换所构成的集合，他们构成了一个群 $(P, \circ)$，称为对称群，集合 $A$ 上的对称群称为 $S(A)$，称为 $n$ 次对称群。

定理 1（Cayley 定理）：任意群同构于一置换群。

Proof：

设有一群 $G$，有变换 $\tau_a :x \to ax$，$a, x \in G$。 容易发现该变换是 $G \to G$ 的一个置换。

考虑所有置换 $\tau_a$ 和复合运算 $\circ$ 构成的二元群，显然：

• 是封闭的：$\tau_a \circ \tau_b = \tau_{ab}$
• 是结合的：$(\tau_a \circ \tau_b) \circ \tau_c = \tau_a \circ (\tau_b \circ \tau_c)$。

则该二元组是群，设为 $T$。构造映射 $\varphi:G \to T, a \to \tau_a$。

运算前的 $\cdot$ 和运算后的 $\circ$ 等价，故 $G,T$ 同构。

Defination：子置换是母置换仅保留定义域的部分映射的结果，在保留之外的元素映射到自身。

Defination：轮换 / 循环置换是无法产生新的更小置换的置换，对换为保留大小为 2 的轮换。

定理 2：任意置换可以写成不相交轮换之积；任意轮换可以表示成对换之复合。

Defination：奇置换是奇偶性为奇数的置换，偶置换同理。

定理 3：任意置换群，要么全为偶置换，要么奇偶置换个数相同。

Proof：有 奇 × 偶 = 奇，偶 × 偶 = 偶。显然可以没有奇置换。

若群中至少有一个奇置换，将所有元素左乘一个奇置换得到了一个新的结构，且奇偶性改变。故奇置换个数等于偶置换个数。

Defination：交代 / 交错群是 $S_n$ 中所有偶置换构成的群，有大小为 $\dfrac{n!}2$ 个元素。

子群扩展

Defination：群的子集 $H$ 与群中元素 $a$ 的左乘 $aH$ 表示左陪集 $\{ab \ | \ b \in H\}$ ，同理有右陪集。

某个群 $H$ 的所有左陪集大小相同，都为 $|H|$。

$aH = H\Leftrightarrow a \in H$，$aH$ 是群 $\Leftrightarrow a \in H$。

Defination：关于 $G$ 的子群 $H$ 的左同余关系 $R_H$，对于 $a, b \in G$，$a R_H b$ 当且仅当 $aH= bH$。同理定义右同余关系。左同余关系还可以记作 $a \equiv b (\mod H)$。

定理 1：左同余关系构成等价类，同时有：$a \equiv B(\bmod H) \Leftrightarrow b \in aH$。

Proof：显然 $b \in bH$，故 $b \in aH$。

若 $b \in aH$，则存在 $c \in H$ 使得 $b = ac$，则 $bH = acH = a(cH) = aH$。

定理 2：$a \equiv b(\bmod H) \Leftrightarrow a^{-1}b \in H \Leftrightarrow ab^{-1} \in H$。

定理 3（陪集分解）：左陪集间要么等价，要么无交。

对于母群 $G$ 的任意子群 $H$，其所有左陪集等价类包含了 $G$ 中所有元素各一次，故 $H$ 的左陪集等价类构成了 $G$ 关于 $H$ 的左陪集分解。

Defination：$H$ 的左陪集分解的大小称为 $H$ 在 $G$ 的指数，记作 $(G:H)$。

定理 4（拉格朗日定理）：若 $H$ 是 $G$ 的子群，则 $|H| \mid |G|$

推论 1：有限群中每个元素的阶都整除群的阶。

推论 2：阶为素数的循环群仅有平凡子群。

定理 5：在有限群中，若 $F \leq H \leq G$，则 $(G:H)(H:F) = (G:F)$。

群间运算与关系

定理 1：满同态传递结合律。

Proof：设满同态映射为 $\varphi$，有 $\varphi (a) \varphi(b) = \varphi(ab)$。显然其满足结合律。

定理 2（群结构在满同态上的传递性定理）：与 $G$ 满同态的群亦是群。

Proof：设该满同态映射为 $\varphi :G \to G'$。结合律已证。

单位元：$\varphi(e) \varphi(a) = \varphi(ea) = \varphi(a)$。

逆元：$\varphi(a^{-1}) \varphi(a) = \varphi(a a^{-1}) = \varphi(e)$。

又因为是满同态，所以 $G'$ 中任一元素均可表示成至少一个 $\varphi(a)$ 的形式，故该结构是群。

定理 3：设 $\varphi :G \to G'$ 是两群间的同态，设 $e, e'$ 分别为两群中的单位元，则：

$$\varphi(e) = e' \ \ \ \ \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$$

Proof：虽然 $G \to G'$ 不是一个满同态，但定是 $G \to \varphi(G)$ 的满同态，故 $\varphi(G)$ 亦是群，亦是 $G'$ 的子群。