LG7445「EZEC-7」线段树 题解

发现求 push_down 期望次数是每个非叶节点的 push_down 概率之和，所以我们只要求出 $n - 1$ 个非叶节点的概率求和就行了。

设一个线段树上的区间是 $[l,r]$ ，那么一次操作包它的概率是 $p_i = \dfrac{2 \times l(n-r+1)}{n \times (n+1)}$

枚举包含的次数，有 $ans_k = \sum\limits_{i=0}^{m}\dbinom{m}{i}p_k^i(1-p_k)^{m-i} \times f_i$，其中 $f_i$ 表示 $i$ 次从 $[-1,V]$ 中选出一个数，最后的和不为 $0$ 的概率。

也就是 $f_i = \dfrac{(V+2)^i - [x^0](\sum\limits_{j=-1}^{V}x^j)^i}{(V+2)^i}$， 不妨把 $V$ 加 $2$，有 $f_i = \dfrac{V^i-[x^0](\sum\limits_{j=-1}^{V-2}x^j)^i}{V_i}$。

考虑怎么对于 $\forall i \in[0,m]$ 求出 $[x^0](\sum\limits_{j=-1}^{V-2}x^j)^i$ ，发现这里有个负指数，不好处理，不妨先平移一下：

设$F(x) = \dfrac{1-x^V}{1-x}，则$要求的是 $[x^0](\dfrac{F(x)}{x})^i$ ，也就是 $[x^0](\dfrac{x}{F(x)})^{-i}$，这样做是为了方便下面的拉格朗日反演。

设 $G$ 为上面那个东西，$H$ 是 $G$ 的复合逆。

使用另类拉格朗日反演：$[x^n]G^k = [x^{-k-1}]F'F^{-n-1}$，带进去有：

$[x^0]G^{-i} = [x^{i-1}]\dfrac{H'(x)}{H(x)} = [x^i]\dfrac{H'(x)}{\dfrac{H(x)}{x}}$ ，于是我们只要求出 $H$ 就行了。

因为有 $G(H(x)) = x$，所以 $H - H^2 - x +xH^V \equiv 0$，可以用牛顿迭代法求出 $H$。

但注意到多项式 exp 常数太大了，于是考虑取个阈值，在 $V \geq lim$ 时可以 $O(\dfrac{m^2}{V})$ 算出 $f_i$，否则直接暴力多项式快速幂。

求出 $f_i$ 以后，可以通过多项式多点求值或者分治 FFT 计算答案。