拉格朗日反演

拉格朗日反演

多项式复合：$F(G(x)) = \sum\limits_{k=0}F[i]G(x)^i$

常数项为零，一次项系数非零的多项式在复合运算中形成群，群的单位元是 $x$。

当 $F(G(x)) = G(F(x)) = x$ 时，称 $F,G$ 互为复合逆。

拉格朗日反演：若 $F(x),G(x)$ 互为复合逆， 假如已知 $F$, 则可求 $G$ 的某一项：

$[x^n]G(x) = \dfrac{1}{n} [x^{-1}]F(x)^{-n}$

注意在自然数指数的运算上，常数项为零的多项式没有逆。

于是引入分式域，对于无法求逆的整式，只需像多项式快速幂那样将指数适当平移使得常数项非零即可。

若 $F(x)$ 无法求逆，找出整式 $G(x) = F(x) / x^k$, 则 $\dfrac{1}{F(x)} = x^{-k}\dfrac{1}{G(x)}$。

• 引理：对于常数项为 0 且一次项非零的整式 $F(x)$，有：

$[x^{-1}]F'(x)F(x)^k = [k = -1]$。

Proof ：当 $k \neq -1$ 时，$F'(x)F(x)^k = \dfrac{1}{k+1}(F(x)^{k+1})'$ 为整式，无 $x^{-1}$ 项。

若 $k = -1$，$[x^{-1}]\dfrac{F'(x)}{F(x)} = [x^0]\dfrac{F'(x)}{F(x) / x}$，常数项显然为 $1$。

证明 ：

$$G(F(x)) = x \\ G(F(x))^k = x^k \\ (G^k)'(F) \times F' = kx^{k-1} \\ \sum\limits_{i=0}iG^k[i]F^{i-1}F' = kx^{k-1} \\ [x^{-1}]\sum\limits_{i=0}iG^k[i]F^{i-n-1}F' = [x^{-1}]kx^{k-1}F^{-n} \\ \sum\limits_{i=0}iG^k[i][i-n-1 = -1] = k[x^{-k}]F^{-n} \\ nG^k[n] = k[x^{-k}]F^{-n}$$

取 $k = 1$ 即是拉格朗日反演的形式。

一个更方便的形式：$[x^{-1}]F(x)^{-n} = [x^{n-1}](\dfrac{F(x)}x)^{-n}$

• 扩展拉格朗日反演：条件仍然是 $G(F(x)) = x$，$H$ 是另外一个无要求的幂级数，有

$$[x^n]H(G(x)) = \dfrac{1}{n}[x^{-1}]H'(x)F(x)^{-n}$$

Proof :

$$G(F(x)) = x \\ H(G(F(x))) = H(x) ，记 T(x) = H(G(x)) \\ T(F(x)) = H(x) \\ \sum\limits_{i=0}T[i]F^i = H \\ \sum\limits_{i=0}T[i]iF^{i-1}F' = H' \\ \sum\limits_{i=0}T[i]iF^{i-n-1}F' = H'F^{-n} \\ \sum\limits_{i=0}T[i]i[i - n - 1 = -1] = [x^{-1}]H'F^{-n} \\ T[n] = \dfrac{1}{n}[x^{-1}]H'F^{-n}$$