网络流 & 二分图 & 线性规划
网络流
- P4177 [CEOI2008]order
题意 ：有 个工作， 个机器， 每种机器可以租或者买， 给定 个工作的收益， 需要的机器和此次租这台机器的费用， 求最大化利益。
显然， 如果没有租的要求的话， 那么就是一个最大权闭合子图模板。
最大权闭合子图 ：一个有向图，点有点权，选一个点必须要选它的所有后继， 求最大权值和。
具体建图 ：新建一个源点 S 和汇点 T，将 S 与所有点权为正的点连边，流量为 ， 并累加权值， 将 所有点权为负的点向 T 连边， 流量 。对于原图，建 ，流量 的边， 将累加的权值减去最大流 / 最小割既是最大权值和。
对于点权为正且无残余流量的点来说， 它没有被选，否则被选。
对于点权为负且无残余流量的点来说， 它被选， 否则没被选。 可以根据此输出方案。
好了， 这个题还有租的机器的方案，因为买对所有工作都有效， 租只对当前工作有效， 那么就把流量为 的改成租的代价再跑一遍最大流即可。
用最小割理解可能更简单一些。
2.P3749 [六省联考 2017] 寿司餐厅
题意 ： 种寿司， 每种寿司有一个代号 和一个美味度 ，你可以不限次数吃一段区间的寿司， 收益为 ， 每种收益 只能算一次。
假设最后你吃了 种代号为 的寿司， 你要支付的代价为 ， 是给定的一个常数。
最大化收益 - 代价。
发现每种收益只能算一次这个现在比较奇怪， 而且要求的是收益 - 代价， 不难想到最大权闭合子图。
考虑怎么把这个图建出来 ：你要得到 的收益， 那么一定得到了 和 的收益，因为你选择的是一段段的区间，那么就从 [i, j] 连向 [i,j - 1] 和 [i + 1, j]，再对 的收益正负考虑它是从 S 连出来还是向 T 连过去。
把代价放在单点上考虑， 每吃一个代号为 的， 那么就要付出 的代价， 因为代号的 也只能算一次， 再把单点连向它的代号， 代号的代价即是 ，跑出最大流即可。
3.P1361 小M的作物
题意 ： 种作物， A，B 两块地，每种作物只能种在一块地里面， 会有不同的收益。
另外有 种组合方式， 表示把该种组合的所有作物都种在一块地里面会有额外收益。
求最大收益。
二选一模型， 可以考虑最小割。
先考虑没有额外收益的情况 ：源点表示选 A，汇点表示选 B，每个点与 S, T 分别连边， 流量为分别的权值， 最后用总和 - 最大流即可。
再考虑加入点集的答案， 这个点集无非只有三种情况 ：
1.全种在 A 中，有 的贡献。 2. 全种在 B 中， 有 的贡献。 3. 只有部分在 A，无贡献。
我们考虑建出一个虚点来表示这个集合，分别与 S, T 相连边， 再与集合中所有的点连边， 边权为 , 表示这些边不能被删。
那么跑完最小割后， 如果边权为 的边没有割去，那么这些点一定都属于集合 A。 如果边权为 的边没有割去， 那么这些点一定都属于集合 B，那些边权为 的边一定不会被删。
感性理解即可，对于这种模型一定要多积累和多练。
4.P2764 最小路径覆盖问题
题意 ：给你一张 DAG， 设 是 的一个简单路的集合， 如果 中每个点都恰好在 中一条路径上， 则称 是 的一个路径覆盖， 的最小路径覆盖即是所含简单路最少的 。
一个有向无环图的一条路径， 可以表示为除终点之外的所有点， 都向外伸出一条边。
把每个点拆成两个点 ：入点和出点， 分别用 和 表示，放在一个二分图里面。
那么一条路径就是起点 没有匹配， 终点 没有匹配， 其他全部匹配的若干点。
可以发现 - 最大匹配数就是最小路径覆盖数， 输出方案就直接在右部点 DFS 即可。
5.P6061 [加油武汉]疫情调查
题意 ：一个有向图， 边有边权， 每一个人要分配一些点集， 这个人就按照给定的顺序依次经过这些点并回到起点， 你要分配这些人， 使得他们的点集是一个 的划分。 特别地， 若一个人只分配到了一个点， 那么花费是 。
求最小代价。
可以发现一个人经过的路程是一个环， 还是若干个不相交的环， 这不就是最小环覆盖吗 ？
于是有一个很自然的想法 ：先用 floyd 求出两两之间最短路， 再跑最小费用最大流， 因为可以走自环， 所以肯定是会满流的。
但这样做会超时，因为点数有 ， floyd 就有 的复杂度， 考虑优化。
考虑减少边的数量， 具体的， 我们想用最小费用最大流的机制让它自己求出最短路。
具体建边如下 ：
从 S 向每一个 连一条流量为 ， 费用为 的边。
每一个 向 连一条流量为 ，费用为 的边，反向连流量 ， 费用为 的边。
每一个 向 T 连流量为 ， 费用为 的边。
对于原图上的边 ， 建边 ，流量 ，费用为 。
优化后边数为 级别的， 可以通过。
6.P5038 [SCOI2012]奇怪的游戏
题意 ：一个 的网格图， 初始每个格子上有一个值。 每次选择两个相邻的格子权值加 ， 求最少次数使得所有数变成同一个数。
看到网格图先进行黑白染色成二分图， 则每次操作只会在一黑一白中进行，所以最后黑白所增加的权值一定相等。
假设黑色点有 个， 总权值为 ， 白色点有 个， 总权值为 ，设最后达到相同的数是 ， 则满足等式 ： ，得到 ， 分类讨论 ：
若 ， 则 可以直接算出来，再检验 的合法性， 具体地 ：
建立源点 S，汇点 T，把每一个黑点要加的值 作为流量与 S 相连，表示要加上这么多次才能使该点满足， 对于白点同理，再从黑点向四周连白点， 跑最大流。
当入边和出边都满流时合法。
若 ，此时点的总数一定是偶数， 相当于 至少有一个为偶数， 此时满足单调性 ：若 成立， 则 也成立， 因为可以把每个格子都加上 ， 二分即可。
需要注意的是二分的上界要开的很大， 具体证明要用 Hall 定理， 这个之后再讲。
7.P2053 [SCOI2007]修车
题意 ： 个车主来修车， 个技术人员维修。 第 辆车由第 个人维修要 的时间。
安排 个技术人员的维修的车和维修的顺序， 使得平均等待时间最小 。
显然一个人等待的时间就是他的技术人员修之前车时间的总和。
设第 个技术人员分别修了 个车， 则总时间为 ：
， 也就是越先修的时间代价越高，倒数第 个修的时间系数为 。
那么把每一个技术人员拆成 个点， 表示他在修倒数第 个人的车的状态。
那么源点 S 连向所有的车， 流量为 ， 每一个拆出来的点都与这 个车连边， 费用为 ， 其中 表示拆的是倒数第 个点， 再向汇点 T 连边， 流量为 。
跑最小费用最大流即可。
可以证明最终选取的拆的点一定是连续的， 否则会不优。
8.P2050 [NOI2012] 美食节
题意 ： 与 修车一模一样， 但数据范围大了许多。
考虑我们没有必要一次性把所有的边和点建出来，于是在最开始的时候只用把每一个厨师的倒数第一次的点建出来。
在 SPFA 找增广路时， 肯定只有一个厨师是匹配的， 于是我们把这个厨师的下一个时间段建出即可。
动态开点来优化费用流，是一个不错的优化方法。
9.CF976F Minimal k-covering
题意 ： 一张二分图， 对于所有 ， 求出使所有点的度数 需要保留边的最小数量，输出方案。
按照题意， 要求的是上下界最小流，但对于每一个 算一遍答案复杂度不对。
我们发现是度数至少为 限制了我们， 考虑怎么去掉它 ？
把至少转化为至多，那么就表示一个点至多去掉 条边，那么对于 从大到小考虑， 每次会把所有 点的从 S 流向它的流量加一，再在残量网络上增广。
那么这样的复杂度就是 了， 具体不会证明
10.P3980 [NOI2008] 志愿者招募
题意 ： 给定一个序列 ， 初始均为 ， 你可以执行 种操作， 每次把区间 的值增加 ，费用为 ，可以任意次执行。 最后要求所有的 ，求最小费用。
费用流， 考虑怎么建边 ：
发现这个至少不好满足， 考虑求至多， 具体建边如下 ：
从 S 连向 ， 容量为 （ 不小于最大的 ) 。
对于每一个 连向 ， 容量为 ，表示第 个下标至多不流 个流量。
从 连向 T， 容量为 X。
对于每一个限制 ， 从 向 连边，容量为 INF， 费用为 。
跑一次最小费用最大流即可。
拓展 ：
我们将这个问题形式化 ：给定 的 个区间 ， 每个区间选择一次的代价为 ，最多选择 次， 最后要求点 的覆盖次数在 间， 求最小 / 最大代价。
同样把 连成一条链， 先确定最大流量 X。
用 边的流量刻画 被覆盖的次数， 流量要求在 。
对于一个区间， 建边 ， 容量为 ， 费用为 。
- P6967 [NEERC2016]Delight for a Cat
题意 ： 一只猫在连续的 个小时内进行睡觉或进食两种动作， 一小时只能选一个。在每小时的收益分别为 。
要求在连续 个小时内， 必须要有至少 的时间睡觉和 的时间进食， 求最大收益。
先强制每个小时都睡觉， 再把一些睡觉改成进食， 对于每个区间要改的个数在 之间。
把每连续 个小时 看成点， 把修改一个小时 对点 看做区间。
那么最后就要求每个点覆盖的次数在 之间， 把 X 当做 后就没有下界了。
- P3511 [POI2010]MOS-Bridges
题意 ：一个图， 边有正走和逆走的权值， 求一个最大边权最小的欧拉回路并输出方案。
先二分答案， 就变成了一些边只能倒着走， 一些边只能正走， 还有一些边随便走的混合图欧拉回路。
一个图存在欧拉回路的充要条件是每个点入度 = 出度，先把无向边任意选一个方向变成有有向边，再从 连一条容量为 的边， 表示反悔。
若发现有点的度数为奇数则无解。
否则， 如果一个点入度 - 出度 > 0，说明入边太多， 从 S 连向 ， 流量为
如果一个点 < 0，说明出边太多， 从 连向 T，流量为 。
最后如果所有边满流则有解，输出方案请左转模板【欧拉路径】。
13.P2304 [NOI2015] 小园丁与老司机
14.P4542 [ZJOI2011]营救皮卡丘
15.P2469 [SDOI2010]星际竞速
16.P4194 矩阵
17.CF1288F Red-Blue Graph
18.CF708D Incorrect Flow
模拟费用流 Begin
先证明几个定理：
费用流的凸性 ：根据 EK 算法， 每次增广的花费会不断增长，以费用为纵轴， 增广次数为横轴， 则画出来的图像是一个凸函数。
最小费用任意流 ：每次增广负数费用路径直到费用为正。
(增量)最小费用任意流：每次往图中加入一个点和若干边， 并求解新的最小费用任意流。
我们只用考虑 "负路径" 和 "负环" 所造成的贡献。
可以用堆来维护已经增广过的路径和没有增广路径的最大值，具体方式因题而异。
费用流常用算法的效率较为低下，只能处理较小的数据范围。在一些特殊的费用流模型中，可以利用题目的特殊性质，结合数据结构 等技巧，设计更高效的费用流算法，称之为“模拟费用流”。
- P4694 [PA2013] Raper
题意 ：有两个序列 和 ， 每个 可以和 的 匹配， 收益是 ， 求匹配 对的最大收益。 。
很容易建出一个费用流模型， 但显然是过不了的。
考虑模拟费用流， 每次枚举 ， 把所有的 和已经匹配的 放到一个堆里面， 每次尝试取出最大值与 匹配， 若费用 则累加， 并把 放进堆里。
正确性可根据费用流增广得知。
- P5470 [NOI2019] 序列
题意 ：两个序列 和 ， 你需要在两个序列里分别选择 个下标， 要求至少有 个下标在两个序列中都被指定， 最大化选择的 和 的和。 。
既然要模拟费用流， 就先把暴力费用流建出来。
从源点 S 向 中的下标连边， 流量为 ， 费用为 。
每一个 向对应的 连边， 流量为 ，表示选择了一对下标相同的数。
建立额外两点 ， 连边 ，流量为 ， 表示最多允许 个 匹配不同的 $b。
所有 向 连边， 向所有 连边， 流量为 。
再限制初始流量为 ， 跑一遍最小费用最大流即可。 可以获得 64 pts 的高分（在考场上已经很高了）
看看这个图怎么找增广路， 具体来说， 有一下五种形式的增广路（找 cmd 贺的）：
第一种方式表示 和 匹配；第二种方式表示 和 匹配 （i != j），要保证 有剩余流量；
第三种表示一个没选 但选了 的下标和一个没选 但选了 交换匹配 ： 匹配 ， 匹配 ， 增加一点剩余流量。
第四种表示一个没选 但选了 的下标和 一个未匹配的 ，让 和 匹配， 原先匹配的点匹配 。
第五种类似， 表示一个没选 但选了 的下标和一个未匹配的 ， 让 和 匹配， 原先匹配的点匹配 。
注意 ：因为第二种匹配方式会减少一点自由流量， 要先保证 1, 3, 4, 5 种增广方案都不如第 2 种时再选择第 2 种。
考虑用 5 个堆 ，分别表示 和 都没选的 。
没选的 ， 没选的 ， 没选但 选了的 ， 选了但 没选的 。
每次选出最优的合法的方式增广， 注意第二种方式增广要使自由流量 -1，第三种方式增广使自由流量 +1， 选择后再更新第 4, 5 个堆的答案即可。
- CF436E Cardboard Box
题意 ： 个关卡，每个关卡可以花 的代价得到一颗星， 或者花 的代价得到两颗星星，或者什么都不做。
求获得 颗星星最小代价。 。
似乎本题不能用费用流模型来刻画。
依然考虑模拟费用流 / 反悔贪心，每次增广 颗星星， 我们有这么几种方式 ：
把一个选 颗星的选 颗星，代价为 。
把一个选 颗星的选 颗星， 代价为 。
把一个选 颗星的降为选 颗星， 再把另一个选 颗星的选 颗星，代价为 。
把一个选 颗星的降为选 颗星， 再把另一个选 颗星的选 颗星，代价为 。
于是用 5 个堆分别维护 没选的 ，选了 1 个的 ， 选了 1 个的 ，选了 0 个的 ， 选了两个的 的最大值。
每次增广时找最大值即可， 写起来很舒服。
22.UOJ #455. 【UER #8】雪灾与外卖
23. CF280D k-Maximum Subsequence Sum
模拟费用流 End
24.P5458 [BJOI2016]水晶
25.P5331 [SNOI2019]通信
26.P4382 [八省联考 2018] 劈配
27.CF793G Oleg and chess
28.P5039 [SHOI2010]最小生成树
29.P6054 [RC-02] 开门大吉
30.P3756 [CQOI2017]老C的方块
31.P3973 [TJOI2015]线性代数
32.P5295 [北京省选集训2019]图的难题
33.CF103E Buying Sets
34.CF786E ALT
35.CF981F Round Marriage
36.P4066 [SHOI2003]吃豆豆
37.P4003 无限之环
38.
二分图
一些定义 & 定理
定义
图的匹配 ：选出一些边，使得每两条边之间没有公共端点。
图的独立集：选出一些点， 使得每两个点之间没有边相连。
图的点覆盖 ：选出一些点， 使得每条边至少有一个端点被选。
图的边覆盖：选出一些边， 使得每个点都至少被一条边覆盖。
图的团：选出一些点， 使得每两个点之间都有边相连。
定理
二分图最大匹配 ： 匈牙利算法
每次找到增广路，把在匹配 P 中的边和不在匹配的边的状态
反，对于每一个左部点 DFS 寻找 即可，时间复杂度 。
二分图最小点覆盖 ：等于最大匹配
Proof : 建立二分图匹配后， 每一个最小割都对应了一个点覆盖，对于中间一条边权 的边， 其左右至少会割一个点， 由于最小割等于最大流， 故得证。
二分图最大独立集 ：等于总点数减去最小点覆盖。
Proof :任何一组独立集取补后得到一组点覆盖， 独立集和点覆盖一一对应。
二分图最小边覆盖 ：等于最大独立集。
图的最大团 ：等于补图的最大独立集。
二分图完美匹配 ：若两侧点集分别为 X，Y，匹配数达到 的匹配称为完美匹配。
Hall 定理：
假设 ，令 表示与 相邻的点集，二分图存在大小为 的完美匹配当且仅当 ，有 。
Proof :
充分性 ：若不存在一个大小为 的匹配，则从左部选出一个非匹配点出发进行增广，设访问到的左部点集合为 ，右部点集合为 ，由于无法增广成功所以增广过程的递归终止点必然在 中，但由于 ， 必然可以继续增广， 矛盾。
必要性 ：若存在完美匹配， 设 为 的匹配点， 则 两两不同， 对于任意点集有 。
推论 ： 二分图最大匹配为 。
例题
1.P2423 [HEOI2012]朋友圈
题意 ： 有两个国家 A 和 B，国家的每个人有一个值 。
对于 A 国， 若 ，则 和 有连边。
对于 B 国， 若 或者 为奇数， 则 和 有连边。
此外， 还有 个关系表示 A 的 和 B 的 有边。
求最大团。
最大团不好直接做， 考虑建出补图， 求一个最大独立集即可。
把所有点按照奇偶分为两个集合。
对于 A 的补图， 的内部互相连边， 的内部互相连边， 之间没有连边，故要选 的话只能选 个。
对于 B 的补图， 若 为偶数且 , 奇偶不同才有连边， 发现这是一个二分图。
利用二分图最大独立集 = 总点数 - 最大匹配即可。
于是枚举 A 中选哪些点， 那么 A 中选的点连向的 B 的点都不能选， 跑一遍最大匹配即可。
2.P3488 [POI2009]LYZ-Ice Skates
题意 ：给定常数 ，初始有 的鞋子各 双， 一个号码为 的人可以穿一双编号在 的鞋子。
有 次操作， 每次有 个号码为 人来，求是否所有人都能穿一双鞋。
容易建出一个网络流模型 ：源点 S 向每个号码连边， 流量为拥有这个号码的人数， 每个号码 向 的鞋子连边， 每个鞋子向汇点 T 连边， 流量为 ， 那么有解就相当于所有边满流，但点数 显然是不可能的。
考虑我们只用知道是否满流， 于是使用 Hall 定理， 贪心的选择的 一定是一段连续的区间，否则一定不优。
于是我们要检验是否对于每个区间 都有 ，相当于 ， 是一个常量不用考虑，把每一个 减去 后就是一个最大子段和问题， 使用线段树维护即可。
3.[ARC076D] Exhausted?
题意 ： 一张二分图，左部 个点， 右边 个点。 左部每个点能和编号在 或 的右部点匹配， 求最大匹配数。 。
利用 Hall 定理， 我们只要求出最大的 即可。
先对所有线段按左端点从小到大排序，枚举左端点时维护右端点的答案。
先考虑 和 不交的情况 ：枚举 ， 则所有右端点 的点肯定都要选才更优，于是使用线段树。
类似扫描线， 每次把右端点 的值加 ， 假设枚举的左端点是 ， 则对答案的贡献是 ， 把左边的值设为线段树维护的值即可。
再考虑 有交， 此时 确定， 我们只要贪心地选取所有点即可。
- CF1009G Allowed Letters
题意 ：给定一个长度为 字符串， 字符集在 'a' - 'f'， 重排这个字符串。有 个限制 ：
给定 和字符集 ， 表示第 位上只能选字符集 里的字符。
求字典序最小的字符串。 。
先考虑暴力网络流 ：从源点 S 向每个位置连边， 每个位置向所能选的字符连边， 每个字符和汇点 T 连边， 容量为这个字符在大串的出现次数，若所有边满流则有合法解。
再考虑字典序最小 ：可以贪心，从左往右枚举每个位置的字符， 再用网络流验证即可。
发现我们只想知道这个网络流是否满流， 相当于存在完美匹配。
而且字符集 'a' - 'f' 只有 6， 很难不想到枚举右部点的子集， 验证是否所有 即可。
于是做法就很显然了 ：先预处理出每个右部点状态与左边匹配的个数， 可以求一个后缀和 ，再贪心地选取最小的字符， 再判断选出后的所有右部点合法即可。
5.P1963 [NOI2009] 变换序列
题意：给定 个数的一个序列 。
构造一个字典序最小的 阶排列 ，满足 。
发现每个点匹配的只有两个点， 直接倒序模拟匈牙利算法，即可保证字典序最小。
6.P5292 [HNOI2019]校园旅行
题意：一张图，每个点有一个 0 / 1 的编号。
多次询问， 每次询问给出 ， 询问 之间是否存在一条路径使得把路径上所有的编号写成 01 串后为一个回文串。
- [AGC013F] Two Faced Cards
线性规划
参考了 fjzzq 的博客，在这里膜拜他！！！
