利用快速幂算斐波那契

斐波那契数学方法

斐波那契的递推式有\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，可以证明\(\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_{n-1}&F_{n-2} \end{pmatrix}*A\) ，\(A\)是常量矩阵。

\[\begin{pmatrix}F_3 & F_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_2&F_1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}F_4 & F_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_3&F_2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_2&F_1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}^{2}\\...\\\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_2&F_1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-2} \]

\(\begin{pmatrix} 1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-2}\)可以用快速幂算，时间复杂度是O(log n)。

快速幂

//算x的k次方
int f(int x, int k)
{
	int t = x, res = 1;
    while(k)
    {
        res *= k&1 ? t : 1;
        t *= x;
        k >>= 1;
    }
}

推广

如果有递推式\(F_n = C_1F_{n-1} + C_2F_{n-2}+...+C_kF_{n-k}\)那么有如下结论：

\[\begin{pmatrix}F_n & F_{n-1}&...&F_{n-k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_{n-1} & F_{n-2} & ... & F_{n-k-1} \end{pmatrix} * A，A是一个k*k的常数矩阵。 \]