动态规划算法（1）

认识动态规划

动态规划的求解思路：
1. 把一个问题分解成若干个子问题
2. 将中间结果保存以避免重复计算

基本步骤：
1. 找出最优解的性质，然后刻画结构特征 （找规律）
2. 最优解(最好的解决方案 定义) 循环(递归)
3. 以自上而下或者自下而上的方式来计算最优值(局部的)
4. 通过最优值来构造最优解

走台阶问题

你每次可以走一步或者两步，有n个台阶，请问你可以有多少种不同的走的方案。
规定：可以超过n，例如n=4： 你可以选择这样走： 1+2+2 ，即使最后答案是5

解析：
走台阶问题就是最简单的动态规划的问题：
我们可以将每一次走的过程分解：

一阶台阶，我们总共有两种方案。
二阶台阶，我们有三种方案。…
你有没有发现很熟悉？ 这不就是我们的斐波那契数列吗？ 1 1 2 3 5 8 …
只不过这个斐波那契数列是从2开始的，然后依次往下走。

动态规划：

int func1(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return n;
	}
	else
	{
		return func1(n - 1) + func1(n - 2);
	}
}
 

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最短路径问题

求最短路径问题： 有矩阵 map 能且只能两种走法 往下 或者 往右 求最短路径

注意：我们构造的辅助数组的宽高要比原数组大一，原因：

• 在我们处理第一行与第一列的时候，第一行往右走；第一列往下走。
• i== 0 或者 j== 0的时候会出现数组越界，因此必须要单独空出第一行与第一列的空间，在剩下的空间处理原地图。

 
地图数组
int map[4][4]{
	2,3,4,2,
	1,2,6,4,
	5,7,4,1,
	6,5,2,3,
};
 
//动态规划2：最短路径
void func2()
{
	//1. 准备一个辅助数组
	int tempArr[5][5]{};
	//2. 寻找每一步的最小值，当前最小值累计起来就是最后的最小值
	//即由 局部最优解--->全局最优解
	for (int i = 1; i < 5; i++)
	{
		for (int j = 1; j < 5; j++)
		{
			//第一行：只能从左边过来
			if (i == 1)
			{
				tempArr[i][j] = map[i-1][j-1] + tempArr[i][j - 1];
			}
			//第一列：只能从上边下来
			else if (j == 1)
			{
				tempArr[i][j] = map[i-1][j-1] + tempArr[i - 1][j];
			}
			else
			{
				//分别计算从左边《往右》和从上边《往下》的最小值，寻找局部最优解
				tempArr[i][j] = map[i-1][j-1] + min(tempArr[i][j - 1], tempArr[i - 1][j]);
			}
		}
	}
	printf("地图的最短路径: %d\n", tempArr[4][4]);
}
 

辅助地图：

最长上升子串问题

有一串整数数组，1 4 7 2 5 8 3 6 9
求出其最长的上升字串的长度
上升串是这样的：
147 258 369
上升串允许是不连续的： 1 4 7 8 9

我们经过分析，求总的最长的字串，其实就是求每个点之前的最长长度

1. 使用pMaxlen记录每一个点对应的最长的长度。
2. 使用pTemp记录用来确定每个点的最长字串长度，每次遍历都从数组头部开始，遍历到对应点为止。
3. pMaxLen数组记录这个点的最长字串长度，他的值是由pTemp来确定。

//动态规划3：最长上升字串
void func3()
{
	//1. 预处理
	int len = 0;
	printf("请输入数组长度: ");
	cin >> len;
	int* pBuff = new int[len] {};
	for (int i = 0; i < len; i++)
	{
		cin >> pBuff[i];
	}
	//2. pMaxLen数组
	int* pMaxLen = new int[len] {};
 
	//pMaxLen数组：第一个元素对应点的最长字串我们初始化为 0
	//第二个元素对应点的最长字串我们初始化为 1，因为他前面就一个字符，我们默认1就是最长的
	pMaxLen[1] = 1;
 
	//从第三个字符开始遍历
	for (int i = 2; i < len; i++)
	{
		int pTemp = 1;	//从第三个字符开始，所以前面最长的一定是从1开始
		for (int j = 1; j < i; j++)	//在i的前面寻找
		{
			//前面小于后面，满足上升条件，更新pTemp记录长度
			if (pBuff[j] < pBuff[i])
			{
				pTemp = max(pTemp, pMaxLen[j]);
			}
			pMaxLen[i] = pTemp + 1;
		}
	}
	printf("最长上升字串: %d\n", pMaxLen[len - 1]);
 
	delete[] pBuff;
}