树与二叉树与森林的相关性质

文章目录

• 树的度
• 树的性质
• 二叉树的性质
• 二叉树与森林

树的度

树的度指的是树内所有节点的度数的最大值。

1. 节点的度：节点所拥有的子树的数量。简单来说，我们直接数分支即可，例如下图：

在这颗二叉树中，节点2的度为2（他有两个子树），节点6的度为2（他也有两个子树），根节点1的度数也为2（有两个子树），其中叶子节点的度全部为0。
因此度为0的节点一定是叶子节点，度非零，则一定是非叶子节点。

2. 树的度：树的度指的是所有的树中的内部节点的度数的最大值。如上图所示，所有节点的度数最大值为2（节点2和节点6和节点1），因此整个树的度为2

树的性质

1. 树中所有的节点数等于树的度数+1。如上图所示，所有节点所具有的度数之和为 6，因此节点的总数： n = d+1
2. 度为m的树中第 i 层至少有 m^(i-1) 个节点。图中树的度为2，因此m=2。第1层的节点数为1，第2层的节点数为2 ^ 1，第3层的节点数为 2 ^ 2
3. 高度为 h 的 m 叉树最多有 (m ^ h - 1)/(m-1)。图中m=2，h=3，因此此树最多有 7 个节点。
4. 具有 n 个节点的 m 叉树的最小高度为 logm(n(m-1)+1)。图中 n =7，m=2，因此此树的最小高度为 log2(8) ，因此高度为 3.

二叉树的性质

1. 非空二叉树的叶子节点总数等于度为2的节点数+1。 上图中度为2的节点数为3，因此+1得叶子节点的个数为4
2. 非空二叉树的第 k 层上最多有 2^k -1 个节点。上图中第 1 层有1个节点，第2层有两个，第3层有四个。
3. 高度为 h 的二叉树最多有 2^ h-1 个节点。上图中高度 h =3，因此最多有 7个节点
4. 具有n个节点的完全二叉树的高度为 log2(n+1) 或者 [log2(n)]+1。上图中有7个节点，因此高度为 log2(7+1) = 3

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二叉树与森林

如何将一颗树转换为二叉树？

1. 同一节点的各个孩子串联起来。
2. 将每个节点的左右分支，从左往右除了第一个以外，全部删除

如何将二叉树转换为树？

4. 二叉树从上往下分层，调整成水平方向，左孩子为一层的开始。
5. 找到每层的双亲节点，方法为找到与这一层左孩子相连的上一个节点，即是这一层的公共双亲节点。
6. 连接双亲节点之后，删除同层的相连关系。

图片演示：

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森林的概念：森林是 m 棵 互不相交的树的集合（不一定是二叉树）

如何将森林转换为二叉树？

1. 首先将森林中每一棵树转换为二叉树。
2. 然后将第二棵树作为第一颗树的右子树，第三棵树作为第二棵树的右子树，以此类推。

如何将二叉树转换为森林？

1. 反复断开二叉树的根节点的右孩子子树，直到不存在右孩子指针为止。

森林与二叉树的转换：

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树与森林的遍历:

1. 树的先序遍历等于它所对应二叉树的先序遍历
2. 树的后序遍历等于它所对应二叉树的中序遍历