算法系列：大整数的乘法

通常，在分析算法的计算复杂性时，都将加法和乘法运算当做基本运算来处理，即将执行一次加法或乘法运算所需的计算时间当做一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。然而，当需要精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大整数的算法运算。下面就来学习一下如何使用算法来计算大整数的乘法。
设X和Y都是n位二进制整数，现在要求计算它们的乘积XY。算法的基本思想如下：
将n位二进制整数X和Y都分为2段，每段长为n/2（为了叙述简单，假设n是2的幂），由此可以得到
X = A2^n/2 + B
Y = C2^n/2 + D
XY = (A2^n/2 + B)(C2^n/2 + D) = AC2ⁿ + (AD + BC)2^n/2 + BD

如果按此式计算，则必须进行4次n/2位整数的乘法（AC,AD,BC和BD），以及3此不超过2n位的整数加法（分别对应于式中的加号），此外还有2此移位（分别对应于乘2ⁿ和2^n/2）。所有这些加法和移位公用O(n)步运算，则整个式子需要的运算总数为

T(n) = 4T(n/2) + O(n)   n > 1

由此可以得到T(n) = O(n²)，所以还是比较复杂的，下面把XY写成另一种形式：

XY = AC2ⁿ + ((A - B)(D - C) + AC + BD)2^n/2 + BD

此式做了3此n/2位整数的乘法，6次加，减法和2次移位，由此可得

T(n) = 3T(n/2) + O(n)   n > 1

容易解得T(n) = O(n^log3) = O(n^1.59)

 上述二进制大整数乘法同样可应用于十进制大整数的乘法。