[Leetcode]689.Maximum Sum of 3 Non-Overlapping Subarrays
链接：LeetCode689
给定数组 nums 由正整数组成，找到三个互不重叠的子数组的最大和。
每个子数组的长度为k，我们要使这3*k个项的和最大化。
返回每个区间起始索引的列表（索引从 0 开始）。如果有多个结果，返回字典序最小的一个。
示例:
输入: \([1,2,1,2,6,7,5,1], 2\)
输出: \([0, 3, 5]\)
解释: 子数组 \([1, 2], [2, 6], [7, 5]\) 对应的起始索引为 \([0, 3, 5]\)。
我们也可以取 \([2, 1]\), 但是结果 \([1, 3, 5]\) 在字典序上更大。
相关标签：动态规划
又是一道明确是用动态规划解法后，便不难想出动态转移方程的题目。
下面考虑一般情况，也就是求解划分成\(N\)个不重叠数组的最大和。
假设到第\(i\)个元素为止，一共已经产生了\(j\)个不重叠数组，那么令$ dp[i][j] \(表示这\)j\(个不重叠数组的最大和。
然后就要寻找状态转移方程。**对于第\)i$个元素，分为两种情况，可取可不取。**
如果取，那就说明 \(nums[i]\) 是第\(j\)个子数组的最后一个元素，那么转移方程为：
也就是说，从\(i-k+1\)到\(i\)，这\(k\)个元素构成了第\(j\)个子数组，那我们只需要求到第\(i-k\)个元素为止，产生\(j-1\)个不重叠数组的最大和即可。
如果不取，那问题就变成了求到第\(i-1\)个元素为止，产生\(j\)个不重叠数组的最大和，那么转移方程为：
当然这题的难度还在于，需要你还原出最大和的情况下，所有子数组的起始元素下标，所以需要另外用一个数组保存一下每一步的最优下标。
同样，假设到第\(i\)个元素为止，一共已经产生了\(j\)个不重叠数组，用\(path[i][j]\)表示第\(j\)个子数组的末尾元素下标。
那么按照上面的推断，如果取第\(i\)个元素，那么\(path[i][j]=i\)；否则的话 \(path[i][j]=path[i-1][j]\)。最后就是根据 path 数组还原答案了。
其代码如下：
python:
class Solution:
def maxSumOfThreeSubarrays(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:
n = len(nums)
dp = [[0 for j in range(4)] for i in range(n+1)]
path = [[0 for j in range(4)] for i in range(n+1)]
cur = sum(nums[:k])
sums = [cur]
for i in range(k,n):
cur += nums[i] - nums[i-k]
sums.append(cur)
for i in range(1,n+1):
for j in range(1,4):
if i < j*k:
dp[i][j] = 0
continue
dp[i][j] = dp[i-1][j]
path[i][j] = path[i-1][j]
if dp[i-k][j-1] + sums[i-k] > dp[i][j]:
dp[i][j] = dp[i-k][j-1] + sums[i-k]
path[i][j] = i-k
res = []
ind = n
for j in reversed(range(1,4)):
res.append(path[ind][j])
ind = path[ind][j]
res.reverse()
return res
C++:
class Solution {
public:
vector<int> maxSumOfThreeSubarrays(vector<int>& nums, int k) {
int n = nums.size();
vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(4,0));
vector<vector<int>> path(n+1,vector<int>(4,0));
int cur = accumulate(nums.begin(),nums.begin()+k,0);
vector<int> sums{cur};
for(int i=k;i<n;++i){
cur += nums[i]-nums[i-k];
sums.push_back(cur);
}
for(int i=1;i<n+1;++i){
for(int j=1;j<4;++j){
if(i<j*k){
continue;
}
dp[i][j] = dp[i-1][j];
path[i][j] = path[i-1][j];
if(dp[i-k][j-1]+sums[i-k]>dp[i][j]){
dp[i][j] = dp[i-k][j-1]+sums[i-k];
path[i][j] = i-k;
}
}
}
vector<int> res;
int ind = n;
for (int j=3;j>0;--j){
res.insert(res.begin(),path[ind][j]);
ind = path[ind][j];
}
return res;
}
};
