[总结]最短路径算法

所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。

下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法：

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法

迪杰斯特拉算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取，是贪心算法的一个应用，用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。另外，要注意D算法是无法解决负权重问题的，所以图的权重必须为正。
首先，我们引入一个辅助向量$D$，它的每个分量$D[i]$表示当前找到的从起始节点$v$到终点节点$v_i$的最短路径的长度。它的初始态为：若从节点$v$到节点$v_i$有弧，则$D[i]$为弧上的权值，否则$D[i]$为$∞$，显然，长度为$D[j] = Min{D[i] | v_i ∈V}$的路径就是从$v$出发最短的一条路径，路径为$(v, v_i)$。
那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设次短路径的终点是$v_k$，则可想而知，这条路径或者是$(v, v_k)$或者是$(v, v_j, v_k)$。它的长度或者是从$v$到$v_k$的弧上的权值，或者是$D[j]$与从$v_j$到$v_k$的权值之和。

一般情况下，假设$S$为已知求得的最短路径的终点集合，则可证明：一条最短路径（设其终点为$x$）或者是弧$(v, x)$或者是中间只经过$S$中的顶点而最后到达顶点$x$的路径。这可用反证法来证明，假设此路径上有一个顶点不在$S$中，则说明存在一条终点不在$S$中而长度比此路径短的路径。但是这是不可能的。因为，我们是按路径长度的递增次序来产生个最短路径的，故长度比此路径短的所有路径均已产生，他们的终点必定在$S$集合中，即假设不成立。

因此，Dijkstra算法描述如下：
假设存在$G=<V,E>$，源顶点为$V_0$，$S={V_0}$,$distance[i]$记录$V_0$到$i$的最短距离，$matrix[i][j]$记录从$i$到$j$的边的权值，即两点之间的距离。
1）从$V-S$中选择使$dist[i]$值最小的顶点$i$，将$i$加入到$U$中；
2）更新与$i$直接相邻顶点的dist值。$dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}$
3）直到$S=V$，所有顶点都包含进来了，算法停止。

图使用邻接矩阵存储,python代码如下：

# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
V = 7
# 标记数组：used[v]值为False说明改顶点还没有访问过，在S中，否则在U中！
used = [False for _ in range(V)]
# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
distance = [float('inf') for _ in range(V)]
# cost[u][v]表示边e=(u,v)的权值，不存在时设为INF
cost = [[float('inf') for _ in range(V)] for _ in range(V)]


def dijkstra(s):
    distance[s] = 0
    while True:
        # v在这里相当于是一个哨兵，对包含起点s做统一处理！
        v = -1
        # 从未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
        for u in range(V):
            if not used[u] and (v == -1 or distance[u] < distance[v]):
                v = u
        if v == -1:
            # 说明所有顶点都维护到S中了！
            break

        # 将选定的顶点加入到S中, 同时进行距离更新
        used[v] = True
        # 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
        for u in range(V):
            distance[u] = min(distance[u], distance[v] + cost[v][u])


if __name__ == '__main__':
    for _ in range(12):
        v, u, w = list(map(int, input().split()))
        cost[v][u] = w
    s = int(input('请输入一个起始点：'))
    dijkstra(s)
    print(distance)

Floyd（弗洛伊德）算法

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。是解决任意两点间的最短路径(称为多源最短路径问题)的一种算法，可以正确处理有向图或无向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
从任意节点$i$到任意节点$j$的最短路径不外乎2种可能：1)直接从节点$i$到节点$j$，2)从节点$i$经过若干个节点$k$到节点$j$。所以，我们假设$arcs(i,j)$为节点$i$到节点$j$的最短路径的距离，对于每一个节点$k$，我们检查$arcs(i,k) + arcs(k,j) < arcs(i,j)$是否成立，如果成立，证明从节点$i$到节点$k$再到节点$j$的路径比节点$i$直接到节点$j$的路径短，我们便设置$arcs(i,j) = arcs(i,k) + arcs(k,j)$，这样一来，当我们遍历完所有节点$k$，$arcs(i,j)$中记录的便是节点$i$到节点$j$的最短路径的距离。

图使用邻接矩阵存储,python代码如下：

# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
n = 4
# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
matrix = [[float('inf') for j in range(n)] for i in range(n)]

def floyd(matrix,n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                matrix[j][k] = min(matrix[j][k], matrix[j][i] + matrix[i][k])
    return matrix


if __name__ == '__main__':
    matrix[0][1] = 3
    matrix[1][2] = 1
    matrix[2][3] = 1
    matrix[1][3] = 4
    for i in range(n):
        matrix[i][i] = 0
    res = floyd(matrix,n)
    print(res)

参考：
Python实现迪杰斯特拉算法
最短路径问题：Dijkstra与Floyd算法