[总结]最短路径算法
所谓最短路径问题是指：如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。
下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法：
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
迪杰斯特拉算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取，是贪心算法的一个应用，用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。另外，要注意D算法是无法解决负权重问题的，所以图的权重必须为正。
首先，我们引入一个辅助向量\(D\)，它的每个分量\(D[i]\)表示当前找到的从起始节点\(v\)到终点节点\(v_i\)的最短路径的长度。它的初始态为：若从节点\(v\)到节点\(v_i\)有弧，则\(D[i]\)为弧上的权值，否则\(D[i]\)为\(∞\)，显然，长度为\(D[j] = Min{D[i] | v_i ∈V}\)的路径就是从\(v\)出发最短的一条路径，路径为\((v, v_i)\)。
那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设次短路径的终点是\(v_k\)，则可想而知，这条路径或者是\((v, v_k)\)或者是\((v, v_j, v_k)\)。它的长度或者是从\(v\)到\(v_k\)的弧上的权值，或者是\(D[j]\)与从\(v_j\)到\(v_k\)的权值之和。
一般情况下，假设\(S\)为已知求得的最短路径的终点集合，则可证明：一条最短路径（设其终点为\(x\)）或者是弧\((v, x)\)或者是中间只经过\(S\)中的顶点而最后到达顶点\(x\)的路径。这可用反证法来证明，假设此路径上有一个顶点不在\(S\)中，则说明存在一条终点不在\(S\)中而长度比此路径短的路径。但是这是不可能的。因为，我们是按路径长度的递增次序来产生个最短路径的，故长度比此路径短的所有路径均已产生，他们的终点必定在\(S\)集合中，即假设不成立。
因此，Dijkstra算法描述如下：
假设存在\(G=<V,E>\)，源顶点为\(V_0\)，\(S={V_0}\),\(distance[i]\)记录\(V_0\)到\(i\)的最短距离，\(matrix[i][j]\)记录从\(i\)到\(j\)的边的权值，即两点之间的距离。
1）从\(V-S\)中选择使\(dist[i]\)值最小的顶点\(i\)，将\(i\)加入到\(U\)中；
2）更新与\(i\)直接相邻顶点的dist值。\(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}\)
3）直到\(S=V\)，所有顶点都包含进来了，算法停止。
图使用邻接矩阵存储,python代码如下：
# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
V = 7
# 标记数组：used[v]值为False说明改顶点还没有访问过，在S中，否则在U中！
used = [False for _ in range(V)]
# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
distance = [float('inf') for _ in range(V)]
# cost[u][v]表示边e=(u,v)的权值，不存在时设为INF
cost = [[float('inf') for _ in range(V)] for _ in range(V)]
def dijkstra(s):
distance[s] = 0
while True:
# v在这里相当于是一个哨兵，对包含起点s做统一处理！
v = -1
# 从未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
for u in range(V):
if not used[u] and (v == -1 or distance[u] < distance[v]):
v = u
if v == -1:
# 说明所有顶点都维护到S中了！
break
# 将选定的顶点加入到S中, 同时进行距离更新
used[v] = True
# 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
for u in range(V):
distance[u] = min(distance[u], distance[v] + cost[v][u])
if __name__ == '__main__':
for _ in range(12):
v, u, w = list(map(int, input().split()))
cost[v][u] = w
s = int(input('请输入一个起始点：'))
dijkstra(s)
print(distance)
Floyd（弗洛伊德）算法
Floyd算法是一个经典的动态规划算法。是解决任意两点间的最短路径(称为多源最短路径问题)的一种算法，可以正确处理有向图或无向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。
从任意节点\(i\)到任意节点\(j\)的最短路径不外乎2种可能：1)直接从节点\(i\)到节点\(j\)，2)从节点\(i\)经过若干个节点\(k\)到节点\(j\)。所以，我们假设\(arcs(i,j)\)为节点\(i\)到节点\(j\)的最短路径的距离，对于每一个节点\(k\)，我们检查\(arcs(i,k) + arcs(k,j) < arcs(i,j)\)是否成立，如果成立，证明从节点\(i\)到节点\(k\)再到节点\(j\)的路径比节点\(i\)直接到节点\(j\)的路径短，我们便设置\(arcs(i,j) = arcs(i,k) + arcs(k,j)\)，这样一来，当我们遍历完所有节点\(k\)，\(arcs(i,j)\)中记录的便是节点\(i\)到节点\(j\)的最短路径的距离。
图使用邻接矩阵存储,python代码如下：
# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
n = 4
# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
matrix = [[float('inf') for j in range(n)] for i in range(n)]
def floyd(matrix,n):
for i in range(n):
for j in range(n):
for k in range(n):
matrix[j][k] = min(matrix[j][k], matrix[j][i] + matrix[i][k])
return matrix
if __name__ == '__main__':
matrix[0][1] = 3
matrix[1][2] = 1
matrix[2][3] = 1
matrix[1][3] = 4
for i in range(n):
matrix[i][i] = 0
res = floyd(matrix,n)
print(res)
