[Leetcode]96. Unique Binary Search Trees

这是Leetcode第96题，给定一个 \(n\)，求共有多少种不同的 \(BST\)（二叉搜索树）。
这道题实际上是 卡塔兰数 (Catalan Numbe) 的一个例子，也是很经典的一个问题了。下面，了解一下什么是卡特兰数以及它的性质。
卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
卡特兰数满足以下性质：
令\(h(0)=1,h(1)=1\)，catalan数满足递推式:

\[h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) \]

由此可以得出卡塔兰数列的递推式为：

\[h(n)=C(2n,n)/(n+1) \]

或者

\[h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1);(n=0,1,2...) \]

卡特兰数经常出现在OI以及ACM中，在生活中也有广泛的应用。下面举几个例子。

• 1、进出栈问题
  栈是一种先进后出（FILO，First In Last Out）的数据结构．如1，1,2,3,4顺序进栈，那么一种可能的进出栈顺序是：1In→2In→2Out→3In→4In→4Out→3Out→1Out, 于是出栈序列为1,3,4,2。那么一个足够大的栈的进栈序列为1,2,3,⋯,n时有多少个不同的出栈序列？

• 2、二叉树构成问题。
  有n个结点，问总共能构成几种不同的二叉树。

• 3、凸多边形的三角形划分。
  一个凸的n边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案。

• 4、在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？
  其实向右走相当于进栈，向左走相当于出栈，本质就是n个数出栈次序的问题，所以答案就是卡特兰数。

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        res = [0 for i in range(n+1)]
        res[0] = 1
        res[1] = 1
        for i in range(2,n+1):
            for j in range(i):
                res[i] += res[j] * res[i-j-1]
        return res[n]