EM算法

EM算法，即最大期望算法（Expectation-maximization algorithm），是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型 依赖于无法观测的隐性变量。
最大期望算法经过两个步骤交替进行计算，
第一步是计算期望（E），利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值；
第二步是最大化（M），最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中，这个过程不断交替进行。
多数情况下我们是根据已知条件来推算结果，而最大似然估计是已经知道了结果，然后寻求使该结果出现的可能性最大的条件，以此作为估计值。似然描述的是结果已知的情况下，该事件在不同条件下发生的可能性，似然函数的值越大说明该事件在对应的条件下发生的可能性越大。

算法推导

对于$m$个样本观察数据$\{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)}…,x^{(m)}\}$，找出样本的模型参数$θ$, 极大化模型分布的对数似然函数如下

$$\begin{aligned} θ={\arg\max}_θ \sum_i \log⁡ {P(x^i;θ)} \end{aligned}$$

如果我们得到的观察数据有未观察到的隐含数据$z=\{z^{(1)},z^{(2)},z^{(3)}…,z^{(m)}\}$，此时我们的极大化模型分布的对数似然函数如下：

$$θ={\arg\max}_θ \sum_i \log {P(x^i;\theta)}={\arg\max}_θ \sum_i \log \sum_z {p(x^i,z^i;\theta)}$$

第一步是对极大似然取对数，第二步是对每个样例的每个可能类别$z$求联合分布概率和。
首先，我们把分子分母同乘以一个相等的函数（即隐变量$Z$的概率分布$Q_i {(z^{(i)})}$，其概率之和等于1，即$\sum_z Q_i {(z^{(i)})}=1$。其次，利用Jensen不等式（即，在凸函数中，有函数的期望大于等于期望的函数，即$E[f(X)]>=f(E[X])$；当$f$是（严格）凹函数当且仅当$-f$是（严格）凸函数，不等号方向反向），我们将上式进行缩放，可得：

$$\begin{aligned} \sum_i \log p(x^{(i)};\theta)=\sum_t \log \sum_{z^{(i)}} p(x^{(i)},z^{(i)};\theta) \\ =\sum_i \log \sum_{z^{(i)}} Q_i {(z^{(i)})} \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i {(z^{(i)})}} \\ \geq \sum_i \sum_{z^{(i)}} Q_i {(z^{(i)})} \log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i {(z^{(i)})}} \end{aligned}$$

其中$\sum_{z^{(i)}} Q_i {(z^{(i)})} \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i {(z^{(i)})}}$就是$\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i {(z^{(i)})}}$的期望，$log$函数为凹函数（其二次导数为$\frac{−1}{x^2}<0$）。
此时如果要满足Jensen不等式的等号，则有：

$$\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i {(z^{(i)})}}=c,c为常数$$

对该式做个变换，并对所有的z求和，得到

$$\sum_z p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)=\sum_z Q_i {(z^{(i)})}c$$

由于$Q_i {(z^{(i)})}$是一个分布，所以满足$\sum_z Q_i {(z^{(i)})}=1$
可得：

$$\sum_z p(x^{(i)},z^{(i)};\theta) = c \\ Q_i {(z^{(i)})}=\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{c}= \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{\sum_z p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}=\frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{p(x^{(i)};\theta)} = p(z^{(i)}|x^{(i)};\theta)$$

至此，我们推出了在固定参数$θ$后，使下界拉升的$Q_i {(z^{(i)})}$的计算公式就是条件概率，解决了$Q_i {(z^{(i)})}$如何选择的问题。这一步就是E步，建立$L(θ)$的下界。接下来的M步，就是在给定$Q_i {(z^{(i)})}$后，调整$θ$：

$$\begin{aligned} {\arg\max}_θ \sum_i \sum_{z^{(i)}} Q_i {(z^{(i)})} \log \frac{p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)}{Q_i {(z^{(i)})}} \end{aligned}$$

去掉上式中为常数的部分，则我们需要极大化的对数似然下界为：

$$\begin{aligned} {\arg\max}_θ \sum_i \sum_{z^{(i)}} Q_i {(z^{(i)})} \log {p(x^{(i)},z^{(i)};\theta)} \end{aligned}$$

上式也就是我们的EM算法的M步。

EM算法能保证收敛吗？如果收敛，那么能保证收敛到全局最大值吗？

要证明EM算法收敛，则我们需要证明我们的 对数似然函数的值在迭代的过程中一直在增大。

$$\sum_{i=1}^m \log {P(x^i;\theta^{j+1})} \geq \sum_{i=1}^m \log {P(x^i;\theta^{j})}$$

由于：

$$L(\theta;\theta^{j})=\sum_{i=1}^m \sum_{z^i} P(z^{(i)}|x^i;\theta^j) \log P(x^{(i)},z^{(i)};\theta)$$

令：

$$H(\theta;\theta^{j})=\sum_{i=1}^m \sum_{z^i} P(z^{(i)}|x^i;\theta^j) \log P(z^{(i)}|x^i;\theta^j)$$

上两式相减得到：

$$\sum_{i=1}^m \log P(x^i;\theta)=L(\theta;\theta^{j})-H(\theta;\theta^{j})$$

在上式中分别取$θ$为$θ^j$和$θ^(j+1)$，并相减得到

$$\sum_{i=1}^m \log P(x^i;\theta^{j+1})-\sum_{i=1}^m \log P(x^i;\theta^{j})=[L(\theta^{j+1};\theta^{j})-L(\theta^{j};\theta^{j})]-[H(\theta^{j+1};\theta^{j})-H(\theta^{j};\theta^{j})]$$

要证明EM算法的收敛性，我们只需要证明上式的右边是非负的即可。
由于$θ^{j+1}$使得$L(θ,θ^j )$极大，因此有:

$$L(\theta^{j+1};\theta^{j})-L(\theta^{j};\theta^{j}) \geq 0$$

而对于第二部分，我们有：

$$\begin{aligned} H(\theta^{j+1};\theta^{j})-H(\theta^{j};\theta^{j})=& \sum_{i=1}^m \sum_{z^i} P(z^{(i)}|x^i;\theta^j) \log \frac {P(z^{(i)}|x^i;\theta^{j+1}) }{P(z^{(i)}|x^i;\theta^{j}) } \\ \leq &\sum_{i=1}^m \log (\sum_{z^i} P(z^{(i)}|x^i;\theta^{j}) \frac{P(z^{(i)}|x^i;\theta^{j+1})}{P(z^{(i)}|x^i;\theta^{j})}) \\ =& \sum_{i=1}^m \log (\sum_{z^i} P(z^{(i)}|x^i;\theta^{j+1}))=0 \end{aligned}$$

其中第2式用到了Jensen不等式，只不过和之前使用相反而已，第3式用到了概率分布累积为1的性质。
至此，我们得到了

$$\sum_{i=1}^m \log {P(x^i;\theta^{j+1})} - \sum_{i=1}^m \log {P(x^i;\theta^{j})} \geq 0$$

证明了EM算法的收敛性。从上面的推导可以看出，EM算法可以保证收敛到一个稳定点，但是却不能保证收敛到全局的极大值点，因此它是局部最优的算法，当然，如果我们的优化目标$L(θ,θ^j)$是凸的，则EM算法可以保证收敛到全局最大值，这点和梯度下降法这样的迭代算法相同。如果我们从算法思想的角度来思考EM算法，我们可以发现我们的算法里已知的是观察数据，未知的是隐含数据和模型参数，在E步，我们所做的事情是固定模型参数的值，优化隐含数据的分布，而在M步，我们所做的事情是固定隐含数据分布，优化模型参数的值。比较下其他的机器学习算法，其实很多算法都有类似的思想。比如SMO算法，坐标轴下降法(Lasso回归算法), 都使用了类似的思想来求解问题。