线性dp 之 麻烦的聚餐
题目描述
为了避免餐厅过分拥挤，FJ要求奶牛们分3批就餐。每天晚饭前，奶牛们都会在餐厅前排队入内，按FJ的设想，所有第3批就餐的奶牛排在队尾，队伍的前端由设定为第1批就餐的奶牛占据，中间的位置就归第2批就餐的奶牛了。
由于奶牛们不理解FJ的安排，晚饭前的排队成了一个大麻烦。
第i头奶牛有一张标明她用餐批次\(D_i(1<=D_i<=3)\)的卡片。虽然所有\(N(1<=N<=30000)\)头奶牛排成了很整齐的队伍，但谁都看得出来，卡片上的号码是完全杂乱无章的。
在若干次混乱的重新排队后，FJ找到了一种简单些的方法：
- 奶牛们不动，他沿着队伍从头到尾走一遍，把那些他认为排错队的奶牛卡片上的编号改掉，最终得到一个他想要的每个组中的奶牛都站在一起的队列。
- 例如
111222333或者333222111。
哦，你也发现了，FJ不反对一条前后颠倒的队列，那样他可以让所有奶牛向后转，然后按正常顺序进入餐厅。
你也晓得，FJ是个很懒的人。他想知道，如果他想达到目的，那么他最少得改多少头奶牛卡片上的编号。所有奶牛在FJ改卡片编号的时候，都不会挪位置。
输入格式
第1行:1个整数：N
第2...N+1行: 第i+1行是1个整数，为第i头奶牛的用餐批次\(D_i\)
输出格式
第1行: 输出1个整数，为FJ最少要改几头奶牛卡片上的编号，才能让编号变成他设想中的样子
样例输入
5
1
3
2
1
1
样例输出
1
数据范围与提示
【输入说明】
队列中共有5头奶牛，第1头以及最后2头奶牛被设定为第一批用餐，第2头奶牛的预设是第三批用餐，第3头则为第二批用餐。
【输出说明】
如果FJ想把当前队列改成一个不下降序列，他至少要改2头奶牛的编号，一种可行的方案是：
- 把队伍中
2头编号不是1的奶牛的编号都改成1。 - 不过，如果FJ选择把第
1头奶牛的编号改成3就能把奶牛们的队伍改造成一个合法的不上升序列了。
题解
本题的题意就是将序列改为不下降序列或者不上升序列，求出最少需要修改几次。
所以就很简单了，求出原序列中的最长不下降子序列的长度\(d1\)和最长不上升子序列的长度\(d2\)。然后计算，第一种改法需要\(n-d1\)，同理的第二次改法需要\(n-d2\)，然后在这两个值中取出一个最小值即可。
代码
首先直接动归，代码如下所示，然后呵呵，wa了。
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=30100,INF=0x3f3f3f3f;
int a[maxn],dp[maxn];
int main(){
int n;scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
dp[i]=1;
int ans=-INF;
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=1;j<i;++j)
if((a[i]>=a[j]) && (dp[i]<dp[j]+1)){
dp[i]=dp[j]+1;
ans=max(dp[i],ans);
}
for(int i=1;i<=n;++i)
dp[i]=1;
for(int i=n-1;i>=1;--i)
for(int j=n;j>i;j--)
if((a[i]>=a[j])&&(dp[i]<dp[j]+1)){
dp[i]=dp[j]+1;
ans=max(dp[i],ans);
}
printf("%d",n-ans);
}
然后 \(n*log_n\)优化，上ac代码，ac的感觉真好。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=30100;
int a[maxn],f[maxn];
int len1,len2;
int main(){
int n;scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);
f[len1]=-1;f[++len1]=a[1];
for(int i=2;i<=n;++i) {
if(a[i] >= f[len1]) f[++len1]=a[i];
else{
int pos=upper_bound(f+1,f+len1+1,a[i])-f;
f[pos]=a[i];
}
}
memset(f,0,sizeof(f));
f[len2]=-1;f[++len2]=a[n];
for(int i=n-1;i>=1;--i){
if(a[i]>=f[len2]) f[++len2]=a[i];
else{
int pos=upper_bound(f+1,f+len2+1,a[i])-f;
f[pos]=a[i];
}
}
int ans=max(len1,len2);
printf("%d",n-ans);
}
