二分
二分本质
给定一个具有单调性的区间 \([l,r]\)，中间切一刀 \(mid=(l+r)/2;\) 可以将区间分为两个子区间，其合法的答案一定在其中的一个子区间中，继续对该区间进行二分。
按照上述原理，有一个问题：\(mid\) 这个位置分给左右那个区间？
（1）分给左区间，相当于：\([l,r] = [l,mid] + [mid+1,r]\); // 找左边界
（2）分给右区间，相当于：\([l,r] = [l,mid-1] + [mid,r]\); // 找右边界
【整数二分】起止位置
有 n 位同学按照年龄从小到大排好队。
王老师想要进行 q 次查询，年龄为 x 的同学，在队伍中首次出现的位置和最后一次出现的位置；
如果队伍中不存在年龄为 x 的同学，请输出 -1。
输入格式：
第一行包含整数 n 和 q，表示队伍中的总人数和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在1~10000范围内），表示队伍中每个人的年龄。
接下来 q 行，每行包含一个整数x，表示一次询问的值。
输出格式：
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求年龄在队伍中的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回"-1 -1"。
数据范围： 1≤n≤100000, 1≤q, x≤10000。
| 输入样例 | 输出样例 |
|---|---|
6 3 1 2 2 2 3 3 2 1 8 |
2 4 1 1 -1 -1 |
分析： 单次询问要做到 \(log_2n\) 级别，考虑二分查找左右边界。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,x,a[N];
// 求 x 出现的左边界, [l,r] = [l,mid-1] + [mid,r]
int left(int l,int r,int x) {
while(l<r) {
int mid=l+r+1 >>1;
if(a[mid]<=x) l=mid;
else r=mid-1;
}
if(a[l]!=x) l=-1; return l;
}
// 求 x 出现的右边界, [l,r] = [l,mid] + [mid+1,r]
int right(int l,int r, int x) {
while(l<r) {
int mid=l+r>>1;
if(a[mid]>=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(a[l]!=x) l=-1; return l;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
while(m--) {
scanf("%d",&x);
printf("%d %d\n",left(1,n,x),right(1,n,x));
}
return 0;
}
【小数二分】求算术平方根
给定 n，求 \(\sqrt{n}\)，保留小数点后 6 位。
| 输入样例 | 输出样例 |
|---|---|
3.14 |
1.772005 |
分析： 算法平方根的求解本质上是在一个区间确定一个满足要求的值，那么如何快速确定这个值呢？
-
牛顿迭代
令 \(a×b=n，a=n\), 则 \(b=n/a;\)
取 \(a_1 = (a+b)/2, b_1=n/a_1;\)
取 \(a_2 = (a_1+b_1)/2, b_2=n/a_2;\)
..., 直到 \(|a_i-b_i|<eps\)，则认为 \(a_i=b_i\)
即 \(a_i×b_i={a_i}^2=n;\) 所以 \(\sqrt{n}=a_i\) -
小数二分
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-8;// 一般比要保留的位数多 2
double sqr1(double n) { // 牛顿迭代
double a=n;
while(abs(a-n/a) > eps) {
a = (a+n/a) / 2;
}
return a;
}
double sqr2(double n) { // 小数二分
double l=0, r=n;
// while(r-l > eps){ // 写法 1
for(int i=1; i<=100; i++) { // 写法 2：直接枚举100次
double mid = (l+r)/2;
if(mid*mid >= n) r=mid;
else l=mid;
}
return l;
}
int main() {
double n=51;
printf("%.6lf\n", sqrt(n));
printf("%.6lf\n", sqr1(n));
printf("%.6lf\n", sqr2(n));
}
【二分答案】切割绳子
有 n 条绳子，每条绳子的长度已知且均为正整数。绳子可以以任意正整数长度切割，但不可以连接。现在要从这些绳子中切割出 m 条长度相同的绳段，求绳段的最大长度是多少。
输入格式：
第一行是一个不超过 100 的正整数 n。
第二行是 n 个不超过 \(10^6\) 的正整数，表示每条绳子的长度。
第三行是一个不超过 \(10^8\) 的正整数 m。
输出格式： 绳段的最大长度，若无法切割，输出“Failed”。
| 输入样例 | 输出样例 |
|---|---|
3 5 10 8 2 |
8 |
分析： 可以切割的最大长度，二分答案 ------ 枚举答案，再检查答案是否合法。
- 确定答案区间 \([l,r]= [l,mid-1] + [mid,r]\)。
- \(chk(x)\) 检查 绳段的长度为 \(x\) 的情况下是否合法：切割出来的绳子数量 s >= m。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+10;
int n,m,a[N];
// 检查 绳段的长度为 x 的情况下是否合法：切割出来的绳子数量 s >= m。
bool chk(int x){
int s=0; // 切割出的绳子数量
for(int i=1; i<=n; i++) s += a[i]/x;
return s >= m;
}
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
scanf("%d",&m);
int l=1, r=1e6;
while(l < r){
int mid = l+r+1 >> 1;
if(chk(mid)) l=mid;
else r=mid-1;
}
if(chk(l)) printf("%d\n",l);
else printf("Failed\n");
return 0;
}
练习题
同时出现的数
Hacker 同学拿到了 2 组数字，老师请你编程帮他找出，第 2 组数中的哪些数，在第 1 组数中出现了，从小到大输出所有满足条件的数。比如：
第 1 组数有：8 7 9 8 2 6 3
第 2 组数有：9 6 8 3 3 2 10
那么应该输出：2 3 3 6 8 9
输入格式：
第一行两个整数 n 和 m，分别代表 2 组数的数量，
第二行 n 个正整数，第三行 m 个正整数。
输出格式： 按照要求输出满足条件的数，数与数之间用空格隔开
数据范围： \(1≤n,m≤100000，每个数 ≤ 2×10^9\)；
| 输入样例 | 输出样例 |
|---|---|
7 7 8 7 9 8 2 6 3 9 6 8 3 3 2 10 |
2 3 3 6 8 9 |
分析： 对两组数分别排序，再利用二分查找完成。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+10;
int t,n,m,a[N],b[N];
int bs(int l,int r,int x){
while(l < r){
int mid = l+r>> 1;
if(a[mid] >=x) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(a[l]!=x) l=-1;
return l;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1; i<=m; i++) scanf("%d",&b[i]);
sort(a+1,a+1+n);
sort(b+1, b+1+m);
for(int i=1; i<=m; i++){
int x = bs(1,n,b[i]);
if(x!=-1) printf("%d ",b[i]);
}
return 0;
}
一元三次方程求解
有形如：ax^3+bx^2+cx+d＝0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a,b,c,d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100至100之间），且根与根之差的绝对值≥1。
要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精确到小数点后2位。
输入格式： 一行，输入a, b, c, d
输出格式： 三个实根（根与根之间留有空格）
| 输入样例 | 输出样例 |
|---|---|
1 -5 -4 20 |
-2.00 2.00 5.00 |
分析： 本题需要明白一元三次方程及其求解方法（见下图），结合小数二分完成求解。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
double a,b,c,d;
double f(double x){
return a*pow(x,3) + b*pow(x,2) + c*x + d;
}
double bs(double l,double r){
for(int i=1; i<=100; i++){
double mid =(l+r)/2.0;
if( f(l) * f(mid) <= 0) r=mid;
else l=mid;
}
return l;
}
int main() {
scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
double A = 3*a, B=2*b, C=c;
double t1 = (-B-sqrt(B*B-4*A*C)) / (2*A);
double t2 = (-B+sqrt(B*B-4*A*C)) / (2*A);
double x1 = bs(-100,t1);
double x2 = bs(t1,t2);
double x3 = bs(t2,100);
printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",x1,x2,x3);
return 0;
}
跳石头
一年一度的“跳石头”比赛又要开始了!
这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 N 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。
为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 M 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。
输入格式：
第一行包含三个整数 L,N,M ，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证L≥1 且 N≥M≥0 。
接下来 N 行，每行一个整数，第 i 行的整数 Di( 0 < Di < L)， 表示第 i 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。
输出格式： 一个整数，即最短跳跃距离的最大值。
数据范围： \(0≤M≤N≤5×10^4,1≤L≤10^9\)
| 输入样例 | 输出样例 |
|---|---|
25 5 2 2 11 14 17 21 |
4 |
分析： 最短跳跃距离的最大值，二分答案 ------ 枚举答案，再检查答案是否合法。
- 确定答案区间，最短跳跃距离的最大值 \(\in [l,r]=[l,mid-1]+[mid,r]\)；
- \(check(x)\) 函数：检查 当最短跳跃距离为 \(x\) 时需要移动的石头数量是否超标。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5e4+10;
int L,n,m,a[N];
// 检查 当最短跳跃距离为 x 时需要移动的石头数量是否超标。
bool chk(int x){
int s=0;
for(int i=1,j=0; i<=n+1; i++){
if(a[i]-j < x) s++;
else j=a[i]; // 更新当前的位置
}
return s<=m;
}
int main() {
scanf("%d%d%d",&L,&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
a[0]=0, a[n+1]=L;
int l=0, r=1e9;
while(l<r){
int mid=l+r+1 >>1;
if(chk(mid)) l=mid;
else r=mid-1;
}
printf("%d\n",l);
return 0;
}
