10. 最大公约数&最小公倍数&加法原理&乘法原理&排列组合
10. 最大公约数&最小公倍数&加法原理&乘法原理&排列组合
约数&倍数
约数，又称因数或因子。
整数 a 除以整数 b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a，记作：b|a。
a 称为 b 的倍数，b 称为 a 的约数。
在自然数(0和正整数)的范围内，任何正整数都是 0 的约数。
注意：一个数的约数必然包括1及其本身。
问：24的约数有哪些？
1 2 3 4 6 8 12 24
在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。
约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。
一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。
如果一个数 c 既是数 a 的因数，又是数 b 的因数，那么 c 叫做 a 与 b 的公因数/公约数。
两个数的公约数中最大的一个，叫做这两个数的最大公约数，如：
12 的约数有：1 2 3 4 6 12
24 的约数有：1 2 3 4 6 8 12 24
则 12 与 24 的公约数有：1 2 3 4 6 12。
其中 12 是最大的，我们就称 12 为两者的最大公约数。
倍数：当 a/b=q...r（r=0）时，称 a 为 b 的倍数，记做： b|a。
公倍数：两个数的公共倍数，如：
12 的倍数有：12 24 36 48 ...
24 的倍数有：24 48 72 96 ...
显而易见，12 与24 的倍数都是无限的，且具有无限的公倍数：24 48 ...
其中 24 是最小的，我们就称 24 为两者的最小公倍数。
那么如果让你来分析 任意两个数的最大公约数与最小公倍数，有信心吗？
【题目描述】输入 a,b, 求他们的最大公约数与最小公倍数。
【输入样例】12 20
【输出样例】4 60
先自己思考吧！
相信你可以想到不止一种解法！
求最大公约数的三种方法：
- 最小递减法
先找 a,b 的最小值，判断该值能否同时被 a,b 整除，如果可以该数就是答案，否则每次-1，继续判断，直到找到答案。
int gcd(int a, int b){
for(int i=min(a,b); i>=1; i--){
if(a%i==0 && b%i==0) return i;
}
}
- 更相减损法
a-b=c，则 a,b 的最大公约数就是 b,c 的最大公约数，如果 c=0，a 就是答案。
int gcd(int a, int b){
if(a<b) swap(a, b);
if(b==0) return a;
return gcd2(b,a-b);
}
- 辗转相除法
a/b=q...r，则 a,b 的最大公约数就是 b,r 的最大公约数，如果 r=0,则 b 就是答案。
int gcd(int a, int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b, a%b);
}
求最小公倍数的两种方法：
- 最大递增法
先找 a,b 的最大值，判断该值能否同时整除 a,b，如果可以该数就是答案，否则每次+1，继续判断，直到找到答案。
int lcm(int a, int b){
for(int i=max(a,b); i<=a*b; i++){
if(i%a==0 && i%b==0) return i;
}
}
- 定理法：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积。
int lcm(int a, int b){
return a*b/gcd(a,b);
}
#include<cstdio>
//最小递减法求最大公约数
int gcd1(int a, int b){
for(int i=min(a,b); i>=1; i--){
if(a%i==0 && b%i==0) return i;
}
return 1;
}
//更相减损法求最大公约数
int gcd2(int a, int b){
if(a<b) swap(a, b);
if(b==0) return a;
return gcd2(b,a-b);
}
//辗转相除法求最大公约数
int gcd3(int a, int b){
if(b==0) return a;
return gcd3(b, a%b);
}
//最大递增法求最小公倍数
int lcm1(int a, int b){
for(int i=max(a,b); ; i++){
if(i%a==0 && i%b==0) return i;
}
}
//定理法：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积
int lcm2(int a, int b){
return a*b/gcd3(a,b);
}
int main(){
int a,b; scanf("%d%d", &a, &b);
printf("gcd1(%d,%d) = %d\n", a, b, gcd1(a,b));
printf("gcd2(%d,%d) = %d\n", a, b, gcd2(a,b));
printf("gcd3(%d,%d) = %d\n", a, b, gcd3(a,b));
printf("lcm1(%d,%d) = %d\n", a, b, lcm1(a,b));
printf("lcm2(%d,%d) = %d\n", a, b, lcm2(a,b));
return 0;
}
输入：12 20
输出：
gcd1(12,20) = 4
gcd2(12,20) = 4
gcd3(12,20) = 4
lcm1(12,20) = 60
lcm2(12,20) = 60
问题描述：a/b + c/d = e/f (0<a,b,c,d<100).
输入格式：a b c d
输出格式：e/f 的最简式，如果 f=1, 则输出 e.
输入样例：1 2 3 4
输出样例：5/4
输入样例：2 2 4 2
输出样例：3
- 参考程序
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b, a%b);
}
int main(){
int a,b,c,d; cin>>a>>b>>c>>d;
int e=a*d+b*c, f=b*d;
int temp = gcd(e, f);
e = e/temp, f = f/temp;
if(f!=1) cout<<e<<"/"<<f<<endl;
else cout<<e<<endl;
return 0;
}
加法原理&乘法原理
- 加法原理
做一件事，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有 M1 种不同的方法，在第二类办法中有 M2 中不同的办法，……，在第 n 类办法中有 Mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 M1+M2+..+Mn 种不同方法，每一种方法都能达成目标。
例如：Hacker 一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。
经过网上查询，出发那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班
根据加法原理，任意选择其中一个班次的方法为4+3+2=9（种）。
- 乘法原理：
做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 M1 中不同的方法，做第二步有 M2 中不同的方法，……，做第 n 步有 Mn 中不同的方法，那么完成这件事共有 M1*M2*…*Mn 种不同的方法。
例如：从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从丙路到丁地有 2 条路。
问：从甲地到丁地，共有多少种不同的走法？
根据乘法原理，共有2*3*2=12种走法。
排列组合
排列：是指按座位顺序排列，有先后顺序之分，比如：
现要 5 名同学坐在 3 个椅子上，每名同学各不相同，各个椅子不同，问有多少种落座方案？
可以想到：第 1 个椅子可以落座 5 人，第 2 个椅子可以落座 4 人，第 3 个椅子可以落座 3 人；
根据乘法原理可以计算落座方案数 N = 5*4*3 = 60。
那么这样的算法我们可以使用排列公式 \(A(n,m) = A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}\)，表示从 n 个人中选择 m 个人进行排列，有先后顺序之分。
A(5,3) = 5!/(5-3)! = 5*4*3=60
组合：是指按座位数量任意落座，无先后顺序之分，比如：
现要 5 名同学坐在 3 个椅子上，每名同学各不相同，各个椅子相同，问有多少种落座方案？
可以想到：由于只有 3 个椅子，那么问题转化为 从 5 个同学中选择 3 个同学进行组合。
那么如果先任选 3 个同学，A(5, 3) = 60，但是这样会有重复情况，于是除去重复次数 3! 即可。
那么这样的算法我们可以使用组合公式 \(C(n,m) = C_n^m = \frac{n!}{m!*(n-m)!}\)，表示从 n 个人中选择 m 个人进行组合，无先后顺序之分。
C(5,3) = A(5,3)/A(3,3) = 5!/2!/3! = 10
- 公式
A(n, m) = n!/(n-m)!
A(n, 1) = n
C(n, m) = A(n, m)/A(m, m) = n!/(n-m)!/m!
C(n, m) = C(n, n-m)
C(n, 0) = C(n, n) = 1
可以把从n个数中选m个数的组合分为 2 类
1. 不含第n个数的组合，方案数为：C(n-1, m)
2. 含第n个数的组合，方案数为：C(n-1, m-1)
所以C(n, m) = C(n-1, m)+C(n-1, m-1)
参考文章：
