2021年蓝桥杯省赛B组题目解析(C/C++)

2021年蓝桥杯省赛B组题目解析(C/C++)

A 空间 / 填空 5分

【问题描述】256MB的内存空间开一个数组,数组的每个元素都是32位二进制整数,

如果不考虑程序占用的空间和维护内存需要的辅助空间,

请问256MB的空间可以存储多少个32位二进制整数。

  • 答案:67108864

【解析】1MB=2^10KB=1024KB, 1KB=1024B, 1B=8bit。

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
    long long ans = 1ll*256*1024*1024*8/32;
    cout<<ans<<endl;//67108864
    return 0;
}

B 卡片 / 填空 5分

【问题描述】小蓝有很多数字卡片,每张卡片上都是数字 0 到 9。

小蓝准备用这些卡片来拼一些数,他想从 1 开始拼出正整数,每拼一个,就保存起来,卡片就不能用来拼其它数了。

小蓝想知道自己能从 1 拼到多少。

例如,当小蓝有 30 张卡片,其中 0 到 9 各 3 张,则小蓝可以拼出 1 到 10,但是拼 11 时卡片 1 已经只有一张了,不够拼出 11。

现在小蓝手里有 0 到 9 的卡片各 2021 张,共 20210 张,请问小蓝可以从1拼到多少?

  • 答案:3181

【解析】暴力枚举1~n即可,直到0-9有一个用完

#include<iostream>
using namespace std;
int num[10];
int main() {
    for(int i=1; ;i++){
        int temp=i;
        while(temp){
            num[temp%10]++;
            if(num[temp%10]>2021) {
                cout<<i-1<<endl;//3181
                return 0;
            }
            temp /= 10;
        }
    }
    return 0;
}

C 直线 / 填空 10分

在平面直角坐标系中,两点可以确定一条直线。
如果有多点在一条直线上,那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。

给定平面上 2 × 3 个整点 {(x,y)|0 ≤ x < 2,0 ≤ y < 3, x ∈ Z,y ∈ Z},
即横坐标是 0 到 1 (包含 0 和 1) 之间的整数、
纵坐标是 0 到 2 (包含 0 和 2) 之间的整数的点。
这些点一共确定了 11 条不同的直线。

给定平面上 20 × 21 个整点 {(x,y)|0 ≤ x < 20,0 ≤ y < 21, x ∈ Z,y ∈ Z},
即横坐标是 0 到 19 (包含 0 和 19) 之间的整数、
纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之间的整数的点。

请问这些点一共确定了多少条不同的直线。

  • 答案:40257

【解析】整体思路:枚举两点坐标,建立直线方程,判重

  • 建立方程:Y=KX+B,涉及到浮点数。
k = (y2-y1)/(x2-x1)
b = y2-k*x2 = (x2*y1-x1*y2)/(x2-x1) //注意不要依赖于 k,本身 k 就存在误差了
使用 set 去重
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
set<pair<double,double> > s;
int main(){
    int n=20, m=21;
    for(int x1=0; x1<n; x1++){
        for(int y1=0; y1<m; y1++){
            for(int x2=0; x2<n; x2++){
                for(int y2=0; y2<m; y2++){
                    if(x1==x2||y1==y2) continue;
                    double k = 1.0*(y2-y1)/(x2-x1);
                    double b = 1.0*(x2*y1-y2*x1)/(x2-x1);
                    s.insert(make_pair(k,b));
                }
            }
        }
    }
    cout<<s.size()+n+m<<endl;
    return 0;
}

自写 eps,check 判重,这样时间复杂度高

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int N=1e5+10;//最大值 n*m*n*m < 1e5
struct T{
    double k,b;
}t[N];

int ans=0;
void check(T a){
    bool flag=1;
    for(int i=1; i<=ans; i++){
        T temp = t[i];
        if(fabs(temp.k-a.k)<eps && fabs(temp.b-a.b)<eps) {
            flag=0; break;
        }
    }
    if(flag) t[++ans]=a;
}
int main(){
    int n=20, m=21;
    for(int x1=0; x1<n; x1++){
        for(int y1=0; y1<m; y1++){
            for(int x2=0; x2<n; x2++){
                for(int y2=0; y2<m; y2++){
                    if(x1==x2||y1==y2) continue;
                    double k = 1.0*(y2-y1)/(x2-x1);
                    double b = 1.0*(x2*y1-x1*y2)/(x2-x1);
                    T temp = (T){k,b};
                    check(temp);
                }
            }
        }
    }
    cout<<ans+n+m<<endl;
    return 0;
}
  • 对上述程序进行改进
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int N=1e6+10;//最大值 n*m*n*m < 1e5
struct T{
    double k,b;
    bool operator < (const T& t) const{
        if(fabs(k-t.k)>eps) return k < t.k;
        return b < t.b;
    }
}t[N];

int main(){
    int n=20, m=21, cnt=0, ans=0;
    for(int x1=0; x1<n; x1++){
        for(int y1=0; y1<m; y1++){
            for(int x2=0; x2<n; x2++){
                for(int y2=0; y2<m; y2++){
                    if(x1==x2||y1==y2) continue;
                    double k = 1.0*(y2-y1)/(x2-x1);
                    double b = 1.0*(x2*y1-x1*y2)/(x2-x1);
                    t[cnt++]=(T){k,b};
                }
            }
        }
    }
    sort(t, t+cnt);//最后排序计数,稍快一点
    for(int i=1; i<cnt; i++){
        if(fabs(t[i].k-t[i-1].k)<eps && fabs(t[i].b-t[i-1].b)<eps)continue;
        else ans++;
    }
    cout<<ans+n+m+1<<endl;//第一个数没加,所以多 +1
    return 0;
}
  • 建立方程:AX+BY+C=0,保证 gcd(A, B, C)=1。
A = y1-y2;
B = x2-x1;
C = x1*y2-x2*y1;
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
struct T {
    int a,b,c;
    bool operator < (const T &t) const {
        if (a == t.a) return b == t.b ? c < t.c : b < t.b;
        return a < t.a;
    }
    bool operator == (const T& t) const {
        return a==t.a && b==t.b && c==t.c;
    }
};
set<T> s;
int gcd(int a,int b) {
    return b==0 ? a : gcd(b, a%b);
}
int main() {
    int n=20, m=21;
    for(int x1=0; x1<n; x1++) {
        for(int y1=0; y1<m; y1++) {
            for(int x2=0; x2<n; x2++) {
                for(int y2=0; y2<m; y2++) {
                    if(x1==x2||y1==y2) continue;
                    int a = y1-y2;
                    int b = x2-x1;
                    int c = x1*y2-x2*y1;
                    int t = gcd(gcd(a, b), gcd(b, c));
                    s.insert((T) {a/t,b/t,c/t});
                }
            }
        }
    }
    cout<<s.size()+n+m<<endl;
    return 0;
}
  • 两点确定一直线,减去同一行,列,对角线重复部分即可,但是这样有加深了题目难度,需要推导公式。

D 货物摆放 / 填空 10分

小蓝有一个超大的仓库,可以摆放很多货物。
现在,小蓝有 n 箱货物要摆放在仓库,每箱货物都是规则的正方体。

小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向,每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。
小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。

即在长、宽、高的方向上分别堆 L、W、H 的货物,满足 n = L × W × H。
给定 n,请问有多少种堆放货物的方案满足要求。

例如,当 n = 4 时,有以下 6 种方案:1×1×4、1×2×2、1×4×1、2×1×2、2 × 2 × 1、4 × 1 × 1。
请问,当 n = 2021041820210418 (注意有 16 位数字)时,总共有多少种方案?

  • 答案:2430

【解析】将 n 分解因数,求三个因数的乘积为 n 即可。

#include<iostream>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main() {
    ll n=2021041820210418,ans=0;
    set<ll> s;
    for(ll i=1; i*i<=n; i++) {
        if(n%i==0) {
            s.insert(i); s.insert(n/i);
        }
    }
    for(set<ll>::iterator l=s.begin(); l!=s.end(); l++) {
        for(set<ll>::iterator w=s.begin(); w!=s.end(); w++) {
            for(set<ll>::iterator h=s.begin(); h!=s.end(); h++) {
                if(*l * *w * *h==n) ans++;
            }
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

E 路径 / 填空 15分

小蓝学习了最短路径之后特别高兴,他定义了一个特别的图,希望找到图中的最短路径。

小蓝的图由 2021 个结点组成,依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b,如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21,则两个结点之间没有边相连;
如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21,则两个点之间有一条长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边相连。

例如:
结点 1 和结点 23 之间没有边相连;
结点 3 和结点 24 之间有一条无向边,长度为 24;
结点 15 和结点 25 之间有一条无向边,长度为 75。
请计算,结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。

  • 答案:10266837

【解析】简单的最短路径,数据量 (2e3)^3 = 8e9,貌似不是很大,跑一下 floyed

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int a[N][N];
int gcd(int a,int b) {
    return b==0?a:gcd(b, a%b);
}
int main() {
    int n=2021;
    memset(a, 0x3f, sizeof(a));
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        for(int j=i+1; j-i<=21; j++) {
            a[i][j] = a[j][i] = i*j/gcd(i, j);
        }
    }
    for(int k=1; k<=n; k++) {// 跑一下 floyed
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            for(int j=1; j<=n; j++) {
                a[i][j]=min(a[i][j], a[i][k]+a[k][j]);
            }
        }
    }
    cout<<a[1][n]<<endl;//10266837
    return 0;
}

F 时间显示 / 程序题 15 分

时间限制:1.0s 内存限制:256.0MB

【问题描述】小蓝要和朋友合作开发一个时间显示的网站。

在服务器上,朋友已经获取了当前的时间,用一个整数表示,

值为从 1970 年 1 月 1 日 00:00:00 到当前时刻经过的毫秒数。

现在,小蓝要在客户端显示出这个时间。

小蓝不用显示出年月日,只需要显示出时分秒即可,毫秒也不用显示,直接舍去即可。

给定一个用整数表示的时间,请将这个时间对应的时分秒输出 。

【输入格式】输入一行包含一个整数,表示时间。
【输出格式】输出时分秒表示的当前时间,格式形如 HH:MM:SS,
其中 HH 表示时,值为 0 到 23,MM 表示分,值为 0 到 59,SS 表示秒,值为 0 到 59。
时、分、秒不足两位时补前导 0。

【样例输入1】46800999
【样例输出1】13:00:00

【样例输入2】1618708103123
【样例输出2】01:08:23

【评测用例规模与约定】对于所有评测用例,给定的时间为不超过 10^18 的正整数。

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<climits>
typedef long long ll;
using namespace std;
int main() {
    ll n = 46800999;
    n = 1618708103123;
    n = LLONG_MAX;//#define LLONG_MAX 9223,37203,68547,75807 ll
    cin>>n;
    int h = n/1000/60/60%24;
    int m = n/1000/60%60;
    int s = n/1000%60;
    printf("%02d:%02d:%02d\n",h,m,s);
    return 0;
}

G 砝码称重 / 程序题 20 分

时间限制:1.0s 内存限制:256.0MB

【问题描述】

你有一架天平和 N 个砝码,这 N 个砝码重量依次是 \(W_1,W_2,...,W_N\)

请你计算一共可以称出多少种不同的重量?

注意砝码可以放在天平两边。

【输入格式】输入的第一行包含一个整数 N。第二行包含 N 个整数: \(W_1,W_2,...,W_N\)
【输出格式】输出一个整数代表答案。

【样例输入】

3
1 4 6

【样例输出】

10

【样例说明】

能称出的 10 种重量是:1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。
1 = 1;
2 = 6 - 4 (天平一边放 6,另一边放 4);
3 = 4 - 1;
4 = 4;
5 = 6 - 1;
6 = 6;
7 = 1 + 6;
9 = 4 + 6 - 1;
10 = 4 + 6;
11 = 1 + 4 + 6。

【评测用例规模与约定】
对于 50% 的评测用例,1≤N≤15。
对于所有评测用例,1≤N≤100,N个砝码总重不超过100000。

【解析】dfs/dp

  • 搜索,50分
    当前砝码可以选择 放天平左边,右边或者不放,三个递归关系即可。
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int w[N],vis[N],n,m=0,ans=0;

void dfs(int x, int y) {//前x个元素,可称出重量y
    if(x>n) return;
    vis[abs(y)] = 1;
    dfs(x+1, y+w[x]);//加天平左边
    dfs(x+1, y);     //不加
    dfs(x+1, y-w[x]);//加天平右边
}
int main() {
//    freopen("data.in", "r", stdin);
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        cin>>w[i]; m+=w[i];
    }
    dfs(0, 0);
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        if(vis[i]==1) ans++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
  • dp (动态规划,还可以状态压缩,但是没必要)
状态:f[i][j] 表示前 i 个物品配成重量 j 是否可行
初始状态:f[0][0]=1, f[i][0]=1, f[0][i]=0;
状态转移方程:
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][abs(j-w[i])] + f[i-1][j+w[i]];
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int w[N], f[110][N], n, m, ans=0;
int main(){
//    freopen("data.in", "r", stdin);
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>w[i]; m+=w[i];
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        for(int j=0; j<=m; j++){
            f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][abs(j-w[i])]+f[i-1][j+w[i]];
        }
    }
    for(int i=1; i<=m; i++){
        if(f[n][i]) ans++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

G JAVA_最少砝码 / 程序题 20 分

【问题描述】你有一架天平。

现在你要设计一套砝码,使得利用这些砝码可以称出任意小于等于 N 的正整数重量。

那么这套砝码最少需要包含多少个砝码?

注意砝码可以放在天平两边。

【输入格式】输入包含一个正整数 N。
【输出格式】输出一个整数代表答案。

【样例输入】7
【样例输出】3

【样例说明】

3 个砝码重量是 1、4、6,可以称出 1 至 7 的所有重量。
1 = 1;
2 = 6 - 4 (天平一边放 6,另一边放 4);
3 = 4 - 1;
4 = 4;
5 = 6 - 1;
6 = 6;
7 = 1 + 6;
少于 3 个砝码不可能称出 1 至 7 的所有重量。

【评测用例规模与约定】对于所有评测用例,1 ≤ N ≤ 1000000000。

【解析】三进制

  • 参考程序
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int n; cin>>n;
    int i=1, sum=1;
    for(; sum<n; i++){
        sum += pow(3, i);
    }
    cout<<i<<endl;
    return 0;
}

H 杨辉三角形 / 程序题 20 分

时间限制:1.0s 内存限制:256.0MB

【问题描述】下面的图形是著名的杨辉三角形:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列,可以得到如下数列:

1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,⋯

给定一个正整数 N,请你输出数列中第一次出现 N 是在第几个数?

【输入格式】输入包含一个正整数 N。
【输出格式】输出一个整数代表答案。

【样例输入】6
【样例输出】13

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例,1 ≤ N ≤ 10;
对于所有评测用例,1 ≤ N ≤ 1000000000。

【解析】
暴力枚举,但是要注意空间,(慎用)极限开空间拿分,不过这道题可以。
由于题目限制较大,直接开 NxN 二维数组模拟能有 20+,后面的就是看数据了。

可以猜测并不是 80% 数据都是极限数据,也有平常数据,
但是要看模拟数组可以到达这个点不,为了尽量获取最多模拟数据,使用滚动数组模拟。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=256.0*1024*1024/4/2-10;//空间用到极致,细节,多拿10分,慎用
int a[2][N], cnt=0;
int main() {
    // cout<<N<<endl; // 33554422=3.3e7,O(n)不超 1s,很重要
    int n; cin>>n;
    a[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=N; i++) {
        for(int j=0; j<i; j++) {
            a[i%2][j]=a[(i-1)%2][j]+a[(i-1)%2][j-1];
            ++cnt;
            if(a[i%2][j]==n) {
                cout<<cnt<<endl; return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

【正解思路】搜索剪枝,或者二分+找规律,有谁要是强行 dp出来,那给你点赞。

参考文章:https://blog.csdn.net/weixin_44091134/article/details/116748883

  • 参考程序
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll C(int a,int b) { //计算C(a,b)
    ll res=1;
    for(int i=a,j=1; j<=b; i--,j++) {
        res = res*i/j;
        if(res>n) return res; // 大于n已无意义,且防止爆ll
    }
    return res;
}
bool check(int k) {
    // 二分该斜行,找到大于等于该值的第一个数
    // 左边界2k,右边界为max(l, n)取二者最大,避免右边界小于左边界
    int l=2*k, r=max(n,l);
    while(l < r) {
        int mid = l+r>>1;
        if(C(mid, k) >= n) r=mid;
        else l = mid+1;
    }
    if(C(r, k)!=n) return false;
    cout<<1ll*(r+1)*r/2+k+1<<endl;
    return true;
}
int main() {
    cin>>n;
    for(int i=16; ; i--){// 从第16斜行枚举
        if(check(i)) break;
    }
    return 0;
}

I 双向排序 / 程序题 25 分

时间限制:1.0s 内存限制:256.0MB

【问题描述】给定序列 \((a_1 , a_2 , ... , a_n) = (1,2,...,n)\),即 \(a_i=i\)

小蓝将对这个序列进行 m 次操作,每次可能是将 \((a_1,a_2,...,a_{q_i})\) 降序排列,
或者将 \((a_{q_i}, a_{q_{i+1}}, ..., a_n)\) 升序排列。

请求出操作完成后的序列。

【输入格式】

输入的第一行包含两个整数 n,m,分别表示序列的长度和操作次数。
接下来 m 行描述对序列的操作,其中第 i 行包含两个整数 pi, qi 表示操作类型和参数。

当 pi=0 时,将 \((a_1, a_2, ..., a_{q_i})\) 降序排列;
当 pi=1 时,将 \((a_{q_i}, a_{q_{i+1}}, ..., a_n)\) 升序排列。

【输出格式】

输出一行,包含 n 个整数,相邻的整数之间使用一个空格分隔,表示操作完成后的序列。

【样例输入】

3 3
0 3
1 2
0 2

【样例输出】

3 1 2

【样例说明】
原数列为 (1, 2, 3)。
第 1 步后为 (3, 2, 1)。
第 2 步后为 (3, 1, 2)。
第 3 步后为 (3, 1, 2)。与第 2 步操作后相同,因为前两个数已经是降序了。

【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例,n , m ≤ 1000;
对于 60% 的评测用例,n, m ≤ 5000;
对于所有评测用例,1 ≤ n , m ≤ 100000,0 ≤ pi ≤ 1,1≤qi≤n;

【解析】暴力打天下,60分到手

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],n,m,p,q;
bool cmp(int a,int b) {
    return a>b;
}
int main() {
//    freopen("data.in", "r", stdin);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++) a[i]=i;
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        cin>>p>>q;
        if(p==0) {
            sort(a+1, a+1+q, cmp);
        } else if(p==1) {
            sort(a+q, a+1+n);
        }
    }
    for(int i=1; i<n; i++) cout<<a[i]<<" ";
    cout<<a[n]<<endl;
    return 0;
}

【正解】一时没想到

J 括号序列 / 程序题 25 分

时间限制:1.0s 内存限制:256.0MB

给定一个括号序列,要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法,
当添加完成后,会产生不同的添加结果,请问有多少种本质不同的添加结果。

两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号,而另一个是右括号。
例如,对于括号序列 (((),只需要添加两个括号就能让其合法,
有以下几种不同的添加结果:()()()、()(())、(())()、(()()) 和 ((()))。

【输入格式】输入一行包含一个字符串 s,表示给定的括号序列,序列中只有左括号和右括号。
【输出格式】输出一个整数表示答案,答案可能很大,请输出答案除以 1000000007(即1e9+7)的余数。

【样例输入】((()
【样例输出】5

【评测用例规模与约定】
对于 40% 的评测用例,∣ s ∣ ≤ 200。
对于所有评测用例,1 ≤ ∣ s ∣ ≤ 5000。

【解析】搜索 / dp


参考文献:2021年蓝桥杯c++b组解析

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