61. 从1到n，共有n个数字，每个数字只出现一次。从中随机拿走一个数字x，请给出最快的方法，找到这个数字。如果随机拿走k(k>=2)个数字呢？[find k missing numbers from 1 to n]

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/find-k-missing-numbers-from-1-to-n.html

 【题目】

从1到n，共有n个数字(无序排列)，每个数字只出现一次。现在随机拿走一个数字x，请给出最快的方法，找到这个数字。要求时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。如果随机拿走k(k>=2)个数字呢？

【分析】

题目给出的条件很强，数字是从1~n的数字，限制了数字的范围；每个数字只出现一次，限制了数字出现的次数；随即拿走了一个数字，说明只有一处是与其他不同、不符合规律的。我们可以利用这些特点来选择合适的解法。

(1)Hash法。利用Hash法统计数字出现的次数，次数为0的即为所求。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。通常这不是面试、笔试时想要的答案，但是Hash的优势在于其通用性。

(2)排序法。利用快排，得到排序后的数组，然后顺序遍历，统计次数为0的数字。时间复杂度O(nlgn)，空间复杂度O(1)。其时间复杂度略高，通常也不是面试官期待的解法，但排序法也算是一种通用做法。

(3)元素相乘/相加法。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

元素相乘法：由于只有一个元素被拿走，因此我们只需要先算出n的阶乘n!，再除以现存所有数字的乘积M，即可得到拿走的数字x (x=n!/M)。但是且缺陷是n不能太大，否则会溢出。

元素相加法：先算出从1到n的所有数字的和Sn，然后减去现有所有数字的和sum，即可得到拿走的数字x(x=Sn-sum)。元素相加法比元素相乘要更好一些。

(4)位运算。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

位运算法如果可以使用的话，应该是计算最快的方法。但是位运算对条件要求也较苛刻，一般需要元素有特殊规律，才有可能使用这种方法。在本题目中，对1~n所有元素进行xor运算得到A=1^2^3^…^(x-1)^x^(x+1)^…^n，在对取走一个元素后剩下的元素进行xor运算得到B=1^2^3^…^(x-1)^(x+1)^…^n，二者xor即可得拿走的数字x = A^B。因为在A^B的过程中相同的数字都被抵消掉了，剩余的结果即为x。

【代码】

 C++ Code 
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// 61_FindMissingNumberFrom1toN.cpp : Defines the entry point for the console application.
//
/*
    version: 1.0
    author: hellogiser
    blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser
    date: 2014/5/28
*/

#include "stdafx.h"

/*
A=1^2^3^...^(x-1)^x^(x+1)^...^n
B=1^2^3^...^(x-1)^(x+1)^...^n
x = A^B

n=9
1,2,3,4,6,7,8,9
x = 5
*/
int FindMissingNumberFrom1ToN(int data[], int n)
{
    int length = n - 1;
    if(NULL == data || length <= 0)
        return -1;
    // xor all
    int xor_all = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        xor_all ^= i;

    // xor of current array
    int xor_current = 0;
    for(int i = 0; i < length; i++)
        xor_current ^= data[i];

    //get result
    int result = xor_all ^ xor_current;
    return result;
}

void test_base(int data[], int n)
{
    int result = FindMissingNumberFrom1ToN(data, n);
    printf("%d \n", result);
}

void test_case1()
{
    int data[] = {1, 2, 3};
    int length = sizeof(data) / sizeof(int);
    test_base(data, length + 1);
}

void test_case2()
{
    int data[] = {2, 3, 4};
    int length = sizeof(data) / sizeof(int);
    test_base(data, length + 1);
}

void test_case3()
{
    int data[] = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9};
    int length = sizeof(data) / sizeof(int);
    test_base(data, length + 1);
}

void test_main()
{
    test_case1();
    test_case2();
    test_case3();
}

int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[])
{
    test_main();
    return 0;
}
/*
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【扩展】

如果随机拿走两个数字呢？如果随机拿走k(k>2)个数字呢？

（1）（2）是通用做法，仍适合。

（3）扩展：

K=1时，构造2个等式。

Sa = 1+2+…(x-1)+x+(x+1)…+n

Sb = 1+2+…(x-1)+(x+1)…+n

X = Sa-Sb

K=2时，构造4个等式。

S2a = 12+22+…+x2+…+y2+…+n

S2b = 12+22+…(x-1)2+(x+1)2…+(y-1)2+(y+1)2…+n

S1a = 1+2+…+x+…+y+…+n

S1b = 1+2+…(x-1)+(x+1)…+(y-1)+(y+1)…+n

则有x2+y2=S2a-S2b，x+y =S1a-S1b。可以求解得到x和y。

同理(k>2)，构造2*k个等式，可以得到关于k个数的k个方程，求解即可得到k个数字。

（4）扩展：

思考一下，如何扩展？

【参考】

http://ouscn.diandian.com/post/2013-10-06/40052170552

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/find-k-missing-numbers-from-1-to-n.html