44. log(n)求a的n次方[power(a,n)]

【题目】

实现函数double Power(double base, int exponent)，求base的exponent次方，不需要考虑溢出。

【分析】

这是一道看起来很简单的问题，很容易写出如下的代码：

 C++ Code 
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double Power(double base, int exponent)
{
    double result = 1.0;
    for(int i = 1; i <= exponent; ++i)
        result *= base;

    return result;
}

上述代码存在的问题：

（1） 由于输入的exponent是个int型的数值，因此可能为正数，也可能是负数，上述代码只考虑了exponent为正数的情况。

（2） 底数为0，指数为负数，则输入非法。

改进之后代码如下：

【代码1】

 

 C++ Code 
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bool g_bValid = true;

bool Equal(double num1, double num2)
{
    double gap = 0.00000001;
    if (num1 - num2 > -gap && num1 - num2 < gap)
        return true;
    return false;
}

double PowerWithUnsignedExponent(double base, unsigned int exponent)
{
    // T(n) = O(n)
    double result = 1.0;
    for (int i = 0; i < exponent; ++i)
        result *= base;
    return result;
}

double Power(double base, int exponent)
{
    g_bValid = true;
    if(Equal(base, 0.0))
    {
        if (exponent < 0)
        {
            g_bValid = false;
        }
        return 0.0;
    }

    unsigned int absExponent = (unsigned int)exponent;
    if (exponent < 0)
        absExponent = (unsigned int)(-exponent);

    double result = PowerWithUnsignedExponent(base, absExponent);
    if (exponent < 0)
        result = 1.0 / result;

    return result;
}

其时间复杂度为O(n)，如何进一步改进？

我们可以用如下公式求a的n次方，其时间复杂度为O(lgn)：

n is even: a^n = a^(n/2)*a^(n/2)

n is odd: a^n = a^((n-1)/2)*a^((n-1)/2) * a

改进后代码如下：

【代码2】

 C++ Code 
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/*
n is even: a^n = a^(n/2)*a^(n/2)
n is odd: a^n = a^((n-1)/2)*a^((n-1)/2) * a
*/
double PowerWithUnsignedExponent2(double base, unsigned int exponent)
{
    // T(n) = O(lgn)
    if (exponent == 0)
        return 1;
    else if (exponent == 1)
        return base;

    double result = PowerWithUnsignedExponent2(base, exponent >> 2);
    result *= result;

    if (exponent & 0x1)
    {
        // exponent is odd
        result *= base;
    }
    return result;
}

【参考】

http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/254111742009101563242535/