5.查找最小的k个元素[Kmin]

【题目】

输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

【分析】

这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。只是这种思路的时间复杂度为O(nlogn)。我们试着寻找更快的解决思路。

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字。接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。我们找出这已有的k个数中最大值，然和拿这次待插入的整数和这个最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换替换当前已有的最大值；如果带插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，因为我们容器内已经有k个数字比它小了，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做三件事情：一是在k个整数中找到最大数，二是有可能在这个容器中删除最大数，三是可能要插入一个新的数字，并保证k个整数依然是排序的。如果我们用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于我们每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除以及插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码。我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规则确保树是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入操作都只需要O(logk)。在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的。如果面试官不反对我们用STL中的数据容器，我们就直接拿过来用吧。下面是基于STL中的multiset的参考代码：

时间复杂度：

数组存储K个元素：K+(N-K)*(K+1) =O(nk)

堆存储K个元素：K+(N-K)*(2*lgK+1)=O(nlgk)

【代码】

 C++ Code 
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typedef multiset<int, greater<int> >  IntHeap;

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// find k least numbers in a vector
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
void FindKLeastNumbers
(
    const vector<int> &data,               // a vector of data
    IntHeap &leastNumbers,                 // k least numbers, output
    unsigned int k
)
{
    leastNumbers.clear();

    if(k == 0 || data.size() < k)
        return;

    vector<int>::const_iterator iter = data.begin();
    for(; iter != data.end(); ++ iter)
    {
        // if less than k numbers was inserted into leastNumbers
        if((leastNumbers.size()) < k)
            leastNumbers.insert(*iter);

        // leastNumbers contains k numbers and it's full now
        else
        {
            // first number in leastNumbers is the greatest one
            IntHeap::iterator iterMax = leastNumbers.begin();

            // if is less than the previous greatest number
            if(*iter < *iterMax)
            {
                // replace the previous greatest number
                leastNumbers.erase(*iterMax);
                leastNumbers.insert(*iter);
            }
        }
    }
}

【参考】

http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420072432136859/

http://blog.csdn.net/liangbopirates/article/details/9377105

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6370650