矩阵特征值和特征向量

　　设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，

　　则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

　　非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn

同时矩阵A的迹是特征值之和：　　　　　　　　  tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]

如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。

还可用mathematica求得。

 

　　特征向量的引入是为了选取一组很好的基。空间中因为有了矩阵，才有了坐标的优劣。对角化的过程，实质上就是找特征向量的过程。如果一个矩阵在复数域不能对角化，我们还有办法把它化成比较优美的形式——Jordan标准型。高等代数理论已经证明：一个方阵在复数域一定可以化成Jordan标准型。这一点有兴趣的同学可以看一下高等代数后或者矩阵论。

　　经过上面的分析相信你已经可以得出如下结论了：坐标有优劣，于是我们选取特征向量作为基底，那么一个线性变换最核心的部分就被揭露出来——当矩阵表示线性变换时，特征值就是变换的本质！