【二分匹配入门专题1】J - 奔小康赚大钱 hdu2255【KM算法】
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).
Input输入数据包含多组测试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。
Output请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。
Sample Input
2 100 10 15 23
Sample Output
123
题意：km算法的模板题
orz!!我就嫌弃了一小下前面几道是水题，然后就遇到了km算法，花了一个下午来看，还有些细节不是很懂，模板倒是给背下来了，看来还得花时间消化
(转自大牛博客）http://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/05/03/3057028.html
【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM 算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个 匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所 有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方 点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4） 增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的 数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则 对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这 样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也 就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的 (lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；
（6）以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶 标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开 始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与 A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修 改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
#include<stdio.h> #include<string.h> #define N 310 #define INF 0x3f3f3f3f int w[N][N],linker[N],visx[N],visy[N],slack[N];//visy和visx标记y和x int lx[N],ly[N];//lx和ly是顶标 //nx是x点集个数，ny是y点集个数 int n,nx,ny; int dfs(int x) { int y; visx[x] = 1; for(y = 1; y <= ny; y ++) { if(!visy[y]) { int tmp = lx[x] + ly[y] - w[x][y]; if(tmp == 0) { visy[y] = 1; if(linker[y]==-1||dfs(linker[y])) { linker[y] = x; return 1; } } else if(slack[y] > tmp) slack[y] = tmp;//在不相等的子图中slack取最小 } } return 0; } int km() { int sum,x,y,i,j; memset(linker,-1,sizeof(linker)); memset(ly,0,sizeof(ly)); for(i = 1; i <= nx; i ++) for(j = 1,lx[i]=-INF; j <= ny; j ++) if(lx[i] < w[i][j]) lx[i] = w[i][j];//lx初始化为与它关联边中最大的 for(x = 1; x <= nx; x ++) { for(i = 1; i <= ny; i ++) slack[i] = INF; while(1) { memset(visx,0,sizeof(visx)); memset(visy,0,sizeof(visy)); if(dfs(x))//若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广 break; //若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。 //方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d， //所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d int d = INF; for(i = 1; i <= ny; i ++) if(!visy[i]&&d > slack[i]) d = slack[i]; for(i = 1; i <= nx; i ++) if(visx[i]) lx[i] -= d; for(i = 1; i <= ny; i ++) if(visy[i]) ly[i] += d; else slack[i] -= d;//修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d } } sum = 0; for(i = 1; i <= ny; i ++) if(linker[i]!=-1) sum += w[linker[i]][i]; return sum; } int main() { int i,j,ans; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { nx = ny = n; for(i = 1; i <= n; i ++) for(j = 1; j <= n; j ++) scanf("%d",&w[i][j]); ans = km(); printf("%d\n",ans); } return 0; }
