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Maximal Rectangle

Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

 

一道超难的题目，思想难，同时实现也难。

本题是动态规划法的高级应用，还依据题目特征优化，难度相当高。

 

经提示，知道是max histogram这个题目的思想的灵活运用，就是每一行运用max histogram算法思想计算。

原来LeetCode把max histogram放在这一题之前是有原因的。没有max histogram这一题的思想基础垫底，是很难理解的。

LeetCode论坛上的讨论，其实也是这一思想的变种运用，不过感觉讲得并不清楚，他所谓的拖线法，其实就是histogram的倒置。

只不过并没有严格按照histogram的算法来进行，而是优化了。

我按histogram算法写的程序用了大概100ms左右，他的算法程序能在40-50ms左右，很快。

所以我也不得不研究一下他的算法到底优化了什么。

他使用了三个表L，R，H表，我也画了三个表，对比看看，填填这个表，就能理解这个算法了：

下面是标准的histogram题目算法的应用程序：

 

class Solution {
public:
    int maximalRectangle(vector<vector<char> > &matrix)
    {
        int row = matrix.size();
        if (row < 1) return 0;
        int col = matrix[0].size();
        vector<int> his(col);
        int maxArea = 0;

        for (int i = row-1; i >= 0; i--)
        {
            formHistogram(matrix, i, his);
            maxArea = max(maxArea, maxHistogram(his));
        }
        return maxArea;
    }

    void formHistogram(vector<vector<char> > &m, int row, vector<int> &his)
    {
        for (size_t j = 0; j < m[0].size(); j++)
        {
            if (m[row][j]-'0' == 0) his[j] = 0;
            else if (row != m.size()-1 && m[row+1][j]-'0' == 1)
            {
                his[j]--;
            }
            else
            {
                for (int i = row; i >= 0; i--)
                {
                    if (m[i][j]-'0' == 1) his[j]++;
                    else break;
                }
            }
        }
    }
    int maxHistogram(vector<int> &h)
    {
        h.push_back(0);
        int n = h.size();
        int maxArea = 0;
        stack<int> stk;

        for (int i = 0; i < n; )
        {
            if (stk.empty() || h[stk.top()] <= h[i]) stk.push(i++);
            else
            {
                int t = stk.top();
                stk.pop();
                maxArea = max(maxArea, h[t]*(stk.empty()? i:i-stk.top()-1));
            }
        }
        return maxArea;
    }
};

优化一点histogram算法的程序：

 

 

int maxHistogram(vector<int> &h)
    {
        h.push_back(0);
        int n = h.size();
        int maxArea = 0;
        stack<int> stk;

        for (int i = 0; i < n; )
        {
            if (stk.empty() || h[stk.top()] <= h[i]) stk.push(i++);
            else
            {
                int t = stk.top();
                stk.pop();
                maxArea = max(maxArea, h[t]*(stk.empty()? i:i-stk.top()-1));
            }
        }
        return maxArea;
    }
    //================histogram，拖线法实现
    int maximalRectangle2(vector<vector<char> > &matrix)
    {
        int row = matrix.size();
        if (row < 1) return 0;
        int col = matrix[0].size();
        vector<int> his(col);
        int maxArea = 0;

        for (int i = row-1; i >= 0; i--)
        {
            for (int j = 0; j < col; j++)
            {
                if ( matrix[i][j]-'0' == 1) his[j]++;
                else his[j] = 0;
            }

            maxArea = max(maxArea, maxHistogram(his));
        }
        return maxArea;
    }

最后是leetcode上的优化算法，也是上图示意图的算法实现：

 

 

int maximalRectangle(vector<vector<char> > &matrix) {
        if (matrix.empty()) {
            return 0;
        }

        int n = matrix[0].size();
        vector<int> H(n);
        vector<int> L(n);
        vector<int> R(n, n);

        int ret = 0;
        for (int i = 0; i < matrix.size(); ++i) {
            int left = 0, right = n;
            // calculate L(i, j) from left to right
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    ++H[j];
                    L[j] = max(L[j], left);
                }
                else {
                    left = j+1;
                    H[j] = 0; L[j] = 0; R[j] = n;
                }
            }
            // calculate R(i, j) from right to right
            for (int j = n-1; j >= 0; --j) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    R[j] = min(R[j], right);
                    ret = max(ret, H[j]*(R[j]-L[j]));
                }
                else {
                    right = j;
                }
            }
        }

        return ret;
    }

2014-2-27 update：

还是下面这个程序比较保险，虽然leetcode上测试，是上一个程序比较快，但是按照理论上计算，两个算法的时间复杂度都是O(n*n)，而空间复杂度也都是O(n)，那么其实两个方法的实际运行速度都应该差不多的。

而且主要是下面这个程序更加模块化，更简易；上一个程序很容易出错，下标处理起来很麻烦的，一不小心结果就会出错。

 

int maximalRectangle(vector<vector<char> > &matrix)
    {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return 0;
        vector<int> height(matrix[0].size()+1);
        int max_area = 0;
        for (int i = 0; i < matrix.size(); i++)
        {
            for (int j = 0; j < matrix[0].size(); j++)
            {
                if (matrix[i][j] == '1') height[j]++;
                else height[j] = 0;
            }
            max_area = max(max_area, maxHistogram(height));
        }
        return max_area;
    }
    int maxHistogram(vector<int> &height)
    {
        int ans = 0;
        stack<int> stk;
        for (int i = 0; i < height.size(); )
        {
            if (stk.empty() || height[stk.top()] < height[i]) stk.push(i++);
            else
            {
                int idx = stk.top();
                stk.pop();
                ans = max(ans, (stk.empty()? i:i-stk.top()-1)*height[idx]);
            }
        }
        return ans;
    }