【洛谷P1025】【JZOJ5195】数的划分【DP】

题目大意：

题目链接：
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1025
JZOJ：https://jzoj.net/senior/#main/show/5195
将$n$个弹珠分成$k$份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

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思路：

我们先来讨论一下放的方法。
为了使任意两份互不相同，那么就让第一份的珠子数量$\geq$第二份珠子的数量$\geq...\geq$第$k$分珠子的数量。这样可以保证不会出现相同的方案（例如$2,3,4$和$2,4,3$就是相同的方案，其中至少一个会不符合要求）。
很容易想到用$f[i][j]$表示已经将$i$个珠子分成$j$分的方案数。为了保证$s_1\geq s_2\geq...\geq s_k$，那么就有两种方程：

1. 下一个格子（第$i$个格子）放入一个珠子。由于前面的每一份都至少有一个珠子，并且保证$s_1\geq s_2\geq...\geq s_{i-1}$，所以在下一份放入一个珠子也是可以保证$s_1\geq s_2\geq...\geq s_{i}$的。所以就有$f[i][j]=f[i-1][j-1]$
2. 前面的每一个格子都多放一个珠子。由于本来就有$s_1\geq s_2\geq...\geq s_{i}$，那么也就必然有$s_1+1\geq s_2+1\geq...\geq s_{i-1}+1\geq s_i$。那么方程就是$f[i][j]=f[i-j][j]$

所以综合起来就是
$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]$

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代码：

洛谷：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int f[201][201],n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     f[i][1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     for (int j=2;j<=i;j++)
      f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

JZOJ:

#include <cstdio>
#define N 5100
#define MOD 998244353
using namespace std;
int f[N][N],n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     f[i][1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
     for (int j=2;j<=i;j++)
      f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%MOD;
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}