【POJ1185】【洛谷P2704】炮兵阵地【状压dp】

题目大意：

题目链接：

POJ：http://poj.org/problem?id=1185
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2704

在一个$n\times m$的网格中，有些格子可以选择，任意两个选择的点不可以在同一直线的距离小于3。求最大的选择方案。

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思路：

$m\leq 10$，可以考虑状压$dp$。
由于对于一个点选择或者不选会影响到下面两行的选择，所以我们可以设$f[i][j][k]$表示第$i$行，这一行和上一行的放置方案为$j$和$k$的方案数。设上上行的状态为$l$，则有
$f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][k][l]+sum[j])$
其中$sum[j]$表示状态为$j$放置的个数（即状态为$j$中数字1的个数）
但是这样的时间复杂度为$O(n\times (2^m)^3)$，空间复杂度为$O(nm^2)$，TLE+MLE两开花（TM两开花XD）。
我们会发现枚举时有太多状态是不成立的。也就是说这个状态中就有两个1之间的距离小于3,。所以我们可以预处理出所有的合法的状态（即任意两个1之间的距离至少为3），然后直接枚举这些状态（顺便预处理出$sum$数组）。
这样可以省去超级多的无用状态，大大减少时间复杂度。
然后我们为了减少空间，可以设$f[i][j][k]$表示第$i$行，这一行的状态是第j个合法的状态，上一行的状态是第k个合法的状态时的最多放置方案数。方程没有怎么变。
这样就可以过掉本题了。

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代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=110;
const int MAXN=(1<<10);
int n,m,maxn,map[N],q[MAXN],sum[MAXN],tot,ans;
char ch;

bool check(int x)  //判断这个状态是否合法
{
	int cnt=0,sum;
	while (x)
	{
		if ((x&1)&&cnt) return 0;
		if (x&1) cnt=3;
		if (cnt) cnt--;
		x>>=1;
	}
	return 1;
}

int count(int x)  //计算这个撞他中有几个1（您强可以使用lowbit）
{
	int cnt=0;
	while (x)
	{
		cnt+=(x&1);
		x>>=1;
	}
	return cnt;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>ch;
			map[i]=(map[i]<<1)+(ch=='H');  //压缩这一行的那些位置可以放
		}
	maxn=(1<<m);
	for (int S=0;S<maxn;S++)  //预处理
		if (check(S)) 
		{
			q[++tot]=S;
			sum[tot]=count(S);
		}
	int f[N][tot+1][tot+1];  //压缩空间复杂度
	memset(f,0,sizeof(f));
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=tot;j++)
			if (i==1||!(q[j]&map[i-2]))
				for (int k=1;k<=tot;k++)
					if (!(q[k]&map[i-1])&&!(q[j]&q[k]))
						for (int l=1;l<=tot;l++)
							if (!(q[l]&map[i])&&!(q[j]&q[l])&&!(q[k]&q[l]))
								f[i][l][k]=max(f[i][l][k],f[i-1][k][j]+sum[l]);
	for (int i=1;i<=tot;i++)
		for (int j=1;j<=tot;j++)
			ans=max(ans,f[n][i][j]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}