【POJ3422】Kaka's Matrix Travels【费用流】

题目大意：

题目链接：http://poj.org/problem?id=3422
$k$次传纸条。
传纸条问题都不知道的话那我也就没办法了。
真香

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思路：

$k$次传纸条也是一个比较经典的题目。它的解法是费用流。
如果重复经过的格子是重复计分的，那么就是一个很裸的费用流了（其实答案就是一次传纸条$\times k$），着重思考如何处理“重复的格子不重复计分”。
那么显然是需要拆点的。把每一个点$a$拆成$a_1$和$a_2$，分别表示入点和出点。
考虑如何在这两个点之间连边。显然，这两个点中间一共要连$k$条边，因为最多会经过$k$次。但是只有其中1条边是有费用的，其他$k-1$条边都是没有费用的。
那么显然要在$a_1,a_2$之间连两种边：

• 一条流量为1，费用为这个格子的权值的边
• 一条流量为$k-1$费用为0的边

这样就可以有效解决重复的格子不重复计分的问题了。
接下来的连边就非常显然了。

• $S\to1_1$（点1的入点），流量$m$，费用0
• ${n^2}_2\to T$（最后一个点的出点，总共有$n^2$个点），流量$m$，费用0
• $i_2\to (i+n)_1$，流量$m$，费用0
• $i_2\to (i+1)_1$，流量$m$，费用0

跑最大费用最大流就可以了。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;

const int N=5010,M=200010;
int n,m,x,S,T,tot=1,head[N],dis[N],pre[N];
bool vis[N];

struct edge
{
	int next,to,flow,cost,from;
}e[M];

void add(int from,int to,int flow,int cost)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].from=from;
	e[tot].flow=flow;
	e[tot].cost=cost;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

bool spfa()  //费用流模板(spfa,addflow,mcmf)
{
	memset(dis,0xcf,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	dis[S]=0,vis[S]=1;
	queue<int> q;
	q.push(S);
	while (q.size())
	{
		int u=q.front(),v;
		q.pop();
		vis[u]=0;
		for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
		{
			v=e[i].to;
			if (e[i].flow&&dis[v]<dis[u]+e[i].cost)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].cost;
				pre[v]=i;
				if (!vis[v])
				{
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return dis[T]>0;
}

int addflow()
{
	int minflow=0x3f3f3f3f;
	for (int i=T;i!=S;i=e[pre[i]].from)
		minflow=min(minflow,e[pre[i]].flow);
	for (int i=T;i!=S;i=e[pre[i]].from)
	{
		e[pre[i]].flow-=minflow;
		e[pre[i]^1].flow+=minflow;
	}
	return minflow*dis[T];
}

int mcmf()
{
	int cost=0;
	while (spfa())
		cost+=addflow();
	return cost;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n*n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		add(i,i+n*n,1,x);
		add(i+n*n,i,0,-x);
		add(i,i+n*n,m-1,0);
		add(i+n*n,i,0,0);
		if (i+n<=n*n)
		{
			add(i+n*n,i+n,m,0);
			add(i+n,i+n*n,0,0);
		}
		if (i%n)
		{
			add(i+n*n,i+1,m,0);
			add(i+1,i+n*n,0,0);
		}
	}
	S=n*n*2+1;
	T=n*n*2+2;
	add(S,1,m,0);
	add(1,S,0,0);
	add(n*n*2,T,m,0);
	add(T,n*n*2,0,0);
	printf("%d",mcmf());
	return 0;
}