【P1261】服务器储存信息问题【最短路】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1261
Byteland王国准备在各服务器间建立大型网络并提供多种服务。

网络由n台服务器组成，用双向的线连接。两台服务器之间最多只能有一条线直接连接，同时，每台服务器最多只能和10台服务器直接连接，但是任意两台服务器间必然存在一条路径将它们连接在一起。每条传输线都有一个固定传输的速度。δ(V, W)表示服务器V和W之间的最短路径长度，且对任意的V有δ(V, V)＝0。

有些服务器比别的服务器提供更多的服务，它们的重要程度要高一些。我们用r(V)表示服务器V的重要程度(rank)。rank越高的服务器越重要。

每台服务器都会存储它附近的服务器的信息。当然，不是所有服务器的信息都存，只有感兴趣的服务器信息才会被存储。服务器V对服务器W感兴趣是指，不存在服务器U满足，r(U)>r(W)且δ(V, U)<=δ(V, W)。

举个例子来说，所有具有最高rank的服务器都会被别的服务器感兴趣。如果V是一台具有最高rank的服务器，由于δ(V, V)＝0，所以V只对具有最高rank的服务器感兴趣。我们定义B(V)为V感兴趣的服务器的集合。

我们希望计算所有服务器储存的信息量，即所有服务器的|B(V)|之和。Byteland王国并不希望存储大量的数据，所以所有服务器存储的数据量(|B(V)|之和)不会超过30n。
你的任务是写一个程序，读入Byteland王国的网络分布，计算所有服务器存储的数据量。

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思路：

显然暴力做法就是跑$n$遍单元最短路。
考虑到答案不会太大（所有服务器存储的数据量($|B(V)|$之和)不会超过$30n$），所以可以考虑对暴力算法优化。
设$f[x][i]$表示距离点$x$最近的$rank\geq i$的点的距离。
那么如果我们在跑点$S$的最短路时，最短路跑到点$u$，接下来要转移到点$v$，但是有$dis[S][v]&lt;f[v][rank[S]+1]$，那么就有
$dis[S,v]=dis[S,u]+dis[v,u]\geq f[rank[S]+1][v]+dis[u,v]\geq f[rank[S]+1][u]$
所以这样显然不会更新答案。
所以我们根本不必把$v$扔进（优先）队列里。
这样就可以过了。

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代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mp make_pair
using namespace std;

const int N=30010;
int n,m,tot,ans,rank[N],f[N][15],dis[N],head[N];
bool vis[N],flag[N];
queue<int> r[15];

struct edge
{
    int next,to,dis;
}e[N*10];

void add(int from,int to,int dis)
{
    e[++tot].to=to;
    e[tot].dis=dis;
    e[tot].next=head[from];
    head[from]=tot;
}

void dij_rank(int rk)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    priority_queue<pair<int,int> > q;
    while (r[rk].size())
    {
        int x=r[rk].front();
        f[x][rk]=0;
        q.push(mp(0,x));
        r[rk].pop();
    }
    while (q.size())
    {
        int u=q.top().second,v;
        q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
        for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
        {
            v=e[i].to;
            if (f[v][rk]>f[u][rk]+e[i].dis)
            {
                f[v][rk]=f[u][rk]+e[i].dis;
                q.push(mp(-f[v][rk],v));
            }
        }
    }
}

void dij(int S)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    priority_queue<pair<int,int> > q;
    q.push(mp(0,S));
    dis[S]=0;
    while (q.size())
    {
        int u=q.top().second,v;
        if (!flag[u])
        {
            flag[u]=1;
            ans++;
        }
        q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
        for (int i=head[u];~i;i=e[i].next)
        {
            v=e[i].to;
            if (dis[v]>dis[u]+e[i].dis)
            {
                dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
                if (dis[v]<f[v][rank[S]+1])
                    q.push(mp(-dis[v],v));
            }
        }
    }
}

int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&rank[i]);
        r[rank[i]].push(i);
    } 
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    for (int i=10;i>=1;i--)
    {
        dij_rank(i);
        if (i<10)	
            for (int j=1;j<=n;j++)
                if (f[j][i]>f[j][i+1]) f[j][i]=f[j][i+1];
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
    	dij(i);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}