【网络流24题】【洛谷P4013】数字梯形问题【费用流】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4013
给定一个由$n$行数字组成的数字梯形如下图所示。

梯形的第一行有$m$个数字。从梯形的顶部的$m$个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。

分别遵守以下规则：

1. 从梯形的顶至底的$m$条路径互不相交
2. 从梯形的顶至底的$m$条路径仅在数字结点处相交
3. 从梯形的顶至底的$m$条路径允许在数字结点相交或边相交。

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思路：

可总算背下来费用流的板子了。

对于边是否能重复走，我们只要控制边的流量就可以了。
对于点是否能重复走，可以考虑拆点。对于问题1，入点和出点之间流量为1。问题2,3中，流量为$m$即可。
入点和出点的费用就是该点的权值。
注意为了保证最大流为$m$，需要把汇点$T$拆点，之间连一条流量为$m$，费用为0的边。

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代码：

#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#include <queue> 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;

const int N=2010,Inf=1e9;
int n,m,S,T,T_,cost,maxn,tot,head[N],dis[N],map[50][50],pre[N];
bool vis[N];

struct edge
{
	int next,to,from,flow,cost;
}e[N*4];

int C(int x,int y)
{
	return (m+m+x-2)*(x-1)/2+y;
}

void add(int from,int to,int flow,int cost)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].from=from;
	e[tot].flow=flow;
	e[tot].cost=cost;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

bool spfa()
{
	memset(dis,0xcf,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	queue<int> q;
	q.push(S);
	dis[S]=0; vis[S]=1;
	while (q.size())
	{
		int u=q.front(),v;
		q.pop();
		vis[u]=0;
		for (rr int i=head[u];~i;i=e[i].next)
		{
			v=e[i].to;
			if (e[i].flow&&dis[v]<dis[u]+e[i].cost)
			{
				dis[v]=dis[u]+e[i].cost;
				pre[v]=i;
				if (!vis[v])
				{
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return dis[T]>0;
}

void addflow()
{
	int minflow=Inf;
	for (rr int x=T;x!=S;x=e[pre[x]].from)
		minflow=min(minflow,e[pre[x]].flow);
	for (rr int x=T;x!=S;x=e[pre[x]].from)
	{
		e[pre[x]].flow-=minflow;
		e[pre[x]^1].flow+=minflow;
	}
	cost+=dis[T]*minflow;
}

int MCMF()
{
	while (spfa())
		addflow();
	return cost;
}

void make(int val1,int val2)
{
	tot=1;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for (rr int i=1;i<=n;i++)
		for (rr int j=1;j<=m+i-1;j++)
		{
			add(C(i,j),C(i,j)+maxn,val1,map[i][j]);
			add(C(i,j)+maxn,C(i,j),0,-map[i][j]);
			if (i<n)
			{
				add(C(i,j)+maxn,C(i+1,j),val2,0);
				add(C(i+1,j),C(i,j)+maxn,0,0);
				add(C(i,j)+maxn,C(i+1,j+1),val2,0);
				add(C(i+1,j+1),C(i,j)+maxn,0,0);
			}
		}
	for (rr int i=1;i<=m;i++)
	{
		add(S,C(1,i),1,0);
		add(C(1,i),S,0,0);
	}
	for (rr int i=1;i<=m+n-1;i++)
	{
		add(C(n,i)+maxn,T_,val1,0);
		add(T_,C(n,i)+maxn,0,0);
	}
	add(T_,T,m,0);
	add(T,T_,0,0);
	cost=0;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for (rr int i=1;i<=n;i++)
		for (rr int j=1;j<=m+i-1;j++)
			scanf("%d",&map[i][j]);
	S=2009; T_=2008; T=2007;
	maxn=C(n,n+m-1);
	make(1,1); printf("%d\n",MCMF());
	make(m,1); printf("%d\n",MCMF());
	make(m,m); printf("%d\n",MCMF());
	return 0;
}