【洛谷P4550】收集邮票【期望概率】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4550
有$n$种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是$n$种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为$\frac{1}{n}$。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第$k$张邮票需要支付$k$元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

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思路：

设$f[i]$表示取到第$i$张邮票，把剩余油票全部去完的期望次数。
那么有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的邮票，有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有取得邮票。
所以递推式为
$f[i]=\frac{i}{n}\times f[i]+\frac{n-i}{n}\times f[i+1]$
令$T=\frac{n-i}{n}\times f[i+1]$，移项得
$T=f[i]-\frac{i}{n}\times f[i]$
$f[i]=\frac{n}{n-i}\times (\frac{n-i}{n}\times f[i+1]+1)$
$f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}$
然后设$g[i]$表示取到第$i$张邮票，把剩余油票全部去完的期望费用。
同理，有$\frac{i}{n}$的概率取到已经有的邮票，有$\frac{n-i}{n}$的概率取到没有取得邮票。
所以有
$g[i]=\frac{i}{n}\times (g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}\times (g[i+1]+f[i+1]+1)$
注意这里其实没有加上本次取得费用，在化简后的式子上加会更简洁。
令$T=\frac{n-i}{n}\times (g[i+1]+f[i+1]+1)$，合并同类项得
$\frac{i}{n}\times f[i]+\frac{i}{n}+T=g[i]-\frac{i}{n}g[i]$
$\frac{i}{n}\times f[i]+\frac{i}{n}+\frac{n-i}{n}\times (g[i+1]+f[i+1]+1)=\frac{n-i}{n}g[i]$
$g[i]=\frac{i}{n-i}\times f[i]+g[i+1]+f[i+1]$
加上费用
$g[i]=g[i]=\frac{i}{n-i}\times (f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1$
然后就是一道简单的递推题了。
概率题真恶心。

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代码：

#include <cstdio>
using namespace std;

const int N=10010;
double f[N],g[N],m;
int n;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	m=(double)n;
	for (int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		double j=(double)i;
		f[i]=f[i+1]+m/(m-j);
	}
	for (int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		double j=(double)i;
		g[i]=j/(m-j)*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
	}
	printf("%0.2lf",g[0]);
	return 0;
}