【洛谷P5431】【模板】乘法逆元2【乘法逆元】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P5431
给定$n$个正整数$a_i$以及$k,p$，定义它们在模$p$意义下的乘法逆元为$\frac{1}{a_i}$。
求$\sum^{n}_{i=1}\frac{k^i}{a_i}$。

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思路：

这道题要在近$O(n)$的复杂度内求出$n$个数字的逆元。那么我们来看一下逆元的定义。
若$ab\equiv 1(mod\ p)$，则称$a$为$b$在模$p$意义下的逆元。
也就是说，在模$p$意义下，$a$的逆元即为$\frac{1}{a}$。
那么我们设$s[i]=\Pi^{i}_{j=1}a[j]$，然后设$inv=\frac{1}{s[n]}$，那么假设我们已经知道了$\Pi^{i}_{j=1}a[j]$的逆元$inv_i$，那么显然有
$\frac{1}{a_{i-1}}=inv_i\times s_{i-1}$
因为$inv_i=\frac{1}{a_1\times a_2\times ...\times a_n}$。
所以这样我们就可以在$O(n)$复杂度内求出所有数字的逆元。
然后$k^i$肯定是预处理的。这道题就解了。

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代码：

#include <cstdio>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=5000010;
ll p,k,a[N],s[N],num[N];
int n;

ll read()
{
	ll d=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while (isdigit(ch))
		d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
	return d;
}

ll power(ll x,ll m)
{
	ll ans=1;
	for (;m;m>>=1,x=x*x%p)
		if (m&1) ans=ans*x%p;
	return ans;
}

int main()
{
	n=read(); p=read(); k=read();
	num[0]=1;
	s[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		num[i]=num[i-1]*k%p;
		a[i]=read();
		s[i]=s[i-1]*a[i]%p;
	}
	s[n]=power(s[n],p-2);
	ll ans=0;
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		ans=(ans+s[i]*s[i-1]%p*num[i])%p;
		s[i-1]=s[i]*a[i]%p;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}