【洛谷P4139】上帝与集合的正确用法【扩展欧拉定理】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P4139
给出$p$，求$2^{2^{2^{...}}} mod\ p$。

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思路：

根据欧拉定理，有
$a^p\equiv a^{p\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}\ (mod\ p)$
在这道题中，我们令$q=2^{2^{2^{...}}}$，那么题目就转变为了求$2^q\ mod\ p$。
然后利用欧拉定理，所求即为$2^{q\ mod\ \varphi(q)+\varphi(q)}(mod p)$。
其中$q\ mod \ \varphi(q)$即为$2^{2^{2^{...}}}mod\ \varphi(q)$，递归继续求解即可。直到$q=1$时，答案即为0。
每次用快速幂求出答案，$phi$是可以用线性筛预处理的。
时间复杂度近似$O(p)$

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代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=10000010;
int T,p,m,prime[N],v[N],phi[N];

void euler(int n)  //预处理phi
{
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (!v[i]) prime[++m]=i,v[i]=i,phi[i]=i-1;
		for (int j=1;j<=m;j++)
		{
			if (prime[j]>v[i] || prime[j]>n/i) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
			if (i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
				else phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
		}
	}
}

ll power(ll x,ll mod,ll k)  //快速幂
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%mod)
		if (k&1) ans=ans*x%mod;
	return ans;
}

ll solve(ll p)
{
	if (p==1) return 0;
	return power(2,p,solve(phi[p])+phi[p]);
}

int main()
{
	euler(1e7);
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%d",&p);
		printf("%lld\n",solve((ll)p));
	}
	return 0;
}