【洛谷P3807】【模板】卢卡斯定理【Lucas】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P3807
求$C^{m}_{n+m}\ mod\ p$

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思路：

卢卡斯定理：若$p$为质数，则必有
$C^{m}_{n}\equiv C^{\lfloor m\div p\rfloor}_{\lfloor n\div p\rfloor}\times C^{m\ mod\ p}_{n\ mod\ p}(mod\ p)$
所以如果$n,m$很大，而$p$相对较小的情况下，我们就可以利用卢卡斯定理来求。
其中$C^{\lfloor m\div p\rfloor}_{\lfloor n\div p\rfloor}$我们可以递归求出来，而$C^{m\ mod\ p}_{n\ mod\ p}$就可以直接预处理出阶乘然后暴力求。

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代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100010;
ll n,m,p,phi[N],f[N];
int T; 

ll power(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%p)
		if (k&1) ans=ans*x%p;
	return ans;
}

ll C(ll n,ll m)
{
	ll niv=power(f[m]*f[n-m]%p,p-2);
	return f[n]*niv%p;
}

ll Lucas(ll n,ll m)
{
	if (!m) return 1;
	return Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
		f[0]=1;
		for (int i=1;i<=n+m;i++) f[i]=f[i-1]*i%p;
		printf("%lld\n",Lucas(n+m,m));
	}
}