【CF17D】Notepad【拓展欧拉定理】

题目大意：

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/17/D
你有一个本子，你要往上面写全部的长度为$n$的$a$进制数字，每一页可以写$p$个。要求所有数字必须严格不含前导$0$。求最后一页上有多少个数字。

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思路：

这道题的范围是$2\leq a\leq 10^{1000,000},1\leq n\leq 10^{1000,000},1\leq p\leq 10^9$。
一个$a$进制的数字的每一位有$a$种取值，但是题目要求不能有前导0，所以第一位只有$a-1$种取值。
所以满足要求的$a$进制数有$(a-1)a^{n-1}$个。
所以题目要求我们求得就是
$(a-1)a^{n-1}\mod\ p$
但是当$p|(a-1)a^{n-1}$时应输出$p$。因为此时最后一页有0个字，相当于这一页没写过，也就不是最后一页了。
$a,n$很大，但是$p\leq 10^9$。根据扩展欧拉定理，有$a^{n-1}\equiv a^{(n-1)\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}(mod\ p)$。所以我们可以把指数用拓展欧拉定理降到$10^9$以内，然后用快速幂即可。
$a$可以边读入边取模。反正$ab\ mod\ p=(a\ mod\ p)\times (b\ mod\ p)\ mod\ p$。
时间复杂度$O(len)$。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1000010;
char sa[N],sn[N];
ll p,a,n,phi,q,ans;
int len1,len2;
bool flag;

ll power(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%p)
		if (k&1) ans=ans*x%p;
	return ans;
}

int main()
{
	scanf("%s %s %lld",sa+1,sn+1,&p);
	phi=q=p; len1=strlen(sa+1); len2=strlen(sn+1);
	for (ll i=2;i*i<=q;i++)
		if (!(q%i))
		{
			phi=phi/i*(i-1);
			while (!(q%i)) q/=i;
		}
	if (q>1) phi=phi/q*(q-1);
	for (int i=1;i<=len1;i++)
		a=(a*10+sa[i]-48)%p;
	for (int i=len2;i>=1;i--)  //n-1
		if (sn[i]==48) sn[i]='9';
		else
		{
			sn[i]--;
			break;
		}
	for (int i=1;i<=len2;i++)
	{
		n=n*10+sn[i]-48;
 		if (n>=phi) flag=1;
		n%=phi;
	}
	if (flag) n+=phi;
	ans=((a-1)*power(a,n)%p+p)%p;  //注意这里可能为负数，所以要加p再模p，被HACK了一次
	if (ans) printf("%lld",ans);
		else printf("%lld",p);
	return 0;
}