题目大意:
题目链接:
洛谷:https://www.luogu.org/problem/P4035
BZOJ:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1013
给出n维中的n+1个在n维球体球面上的点,求出这个球的球心坐标。
思路:
题目下方有如下说明:
距离:设两个n为空间上的点A,B的坐标为(a1,a2,...,an),(b1,b2,...bn),则AB的距离定义为:dist=(a1−b1)2+(a2−b2)2+...+(an−bn)2
那么我们就是要在n维平面上找一个点(x1,x2,...,xn),满足
j=1∑n(a1,j−xi)2=j=1∑n(a2,j−xi)2=...=j=1∑n(an+1,j−xi)2
把等号左右的式子相减,以第一个等号维例
j=1∑n(a1,j2+xi2−2a1,jxi−(a2,j2+xi2−2a2,jxi))
j=1∑n(a1,j2−a2,j2−2xi(a1,j−a2j))=0
j=1∑n2(a1,j−a2,j)xj=j=1∑n(a1,j2−a2,j2)
然后就可以构造出增广矩阵
⎣⎢⎢⎢⎡2(a1,1−a2,1)2(a2,1−a3,1)⋮2(an,1−an+1,1)2(a1,2−a2,2)2(a2,2−a3,2)⋮2(an,2−an+1,2)⋯⋯⋱⋯2(a1,n−a2,n)2(a2,n−a3,n)⋮2(an+1,n−an,n)∣∣∣∣∑j=1n(a1,j2−a2,j2)∑j=1n(a2,j2−a3,j2)⋮∑j=1n(an,j2−an+1,j2)⎦⎥⎥⎥⎤
md打的累死我了
然后套高斯消元的模板就好了
代码:
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=15;
double a[N][N],b[N],c[N][N];
int n;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n+1;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
scanf("%lf",&a[i][j]);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
{
b[i]+=a[i][j]*a[i][j]-a[i+1][j]*a[i+1][j];
c[i][j]=(a[i][j]-a[i+1][j])*2.0;
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=i;j<=n;j++)
if (fabs(c[j][i])>1e-8)
{
for (int k=1;k<=n;k++) swap(c[j][k],c[i][k]);
swap(b[j],b[i]);
break;
}
for (int j=1;j<=n;j++)
if (i!=j)
{
double rate=c[j][i]/c[i][i];
for (int k=1;k<=n;k++) c[j][k]-=c[i][k]*rate;
b[j]-=b[i]*rate;
}
}
for (int i=1;i<=n;i++)
printf("%0.3lf ",b[i]/c[i][i]);
return 0;
}