【JZOJ6313】Maja【dp】
题目大意:
题目链接:https://jzoj.net/senior/#main/show/6313
一个的网格图,经过点可以获得的价值,一个点可以 经过多次。求从出发,走步后回到的最大价值。
思路:
这道题有三个相对显然的性质。
- 最终一定是走过某些格子,然后原路返回到原点。
- 为了最大化价值,人物如果产生循环节,那么必然是走到循环节,然后兜上几圈再原路返回。
- 不难证明,这个循环节的大小为2。
其中性质都十分显然。那么下面简单证明一下性质三。
orzWYCdalao的证明
假设这个循环节由个格子组成。那么取其中三个相邻的点。
如果的权值小于的权值,那么显然在中循环会优于在中循环。
如果的权值大于的权值,那么显然在中循环会优于在中循环。
证毕。
利用循环节为2的性质,我们就设表示走了步到达点的最大价值。
那么可以从上下左右四个方向转移而来,所以
但是这样空间不支持。
我们发现只和有关。所以滚动就可以了。
每次求出之后就更新。以为中心的循环节可以预处理出来,反正就只有四种情况。
时间复杂度最坏
代码:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=110;
const ll Inf=1e18;
const int dx[]={0,0,0,-1,1},dy[]={0,1,-1,0,0};
ll ans,f[2][N][N],a[N][N],maxn[N][N];
int n,m,sx,sy,p;
int main()
{
freopen("maja.in","r",stdin);
freopen("maja.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&sx,&sy,&p);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
scanf("%lld",&a[i][j]);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
for (int k=1;k<=4;k++)
maxn[i][j]=max(maxn[i][j],a[i][j]+a[i+dx[k]][j+dy[k]]);
memset(f,0xcf,sizeof(f));
f[0][sx][sy]=0;
for (int k=1;k<=min(p/2,n*m);k++)
{
memset(f[k&1],0xcf,sizeof(f[k&1]));
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
{
for (int l=1;l<=4;l++)
f[k&1][i][j]=max(f[k&1][i][j],f[(k+1)&1][i+dx[l]][j+dy[l]]+a[i][j]);
if (f[k&1][i][j]<0) f[k&1][i][j]=-Inf;
else ans=max(ans,f[k&1][i][j]*2+(ll)(p/2-k)*maxn[i][j]-a[i][j]);
}
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}