【JZOJ3410】Tree【最小生成树】

题目大意：

求一张图的生成树，使得所有树边长度的标准差尽量小。
标准差的定义：设有$n$个数的$a_i$，他们的平均数是$\overline{a}$，那么标准差就是$\sqrt{\frac{\sum^{n}_{i=1}(a_i-\overline{a})^2}{n}}$。

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思路：

由于标准差的大小和方差一致，方差的大小于绝对值之和一致。所以我们求转换成需要满足$|a_1-\overline{a}|+|a_2-\overline{a}|+|a_n-\overline{a}|$尽量小。
所以我们可以枚举每一个绝对值内部的正负，这样就可以脱掉绝对值了。
我们可以假设一个$mid$无限趋近于$\overline{a}$，那么我们就需要找到与$mid$之差尽量小的边，并且这些边可以组成一棵生成树。
显然我们只需要按照与$mid$的差值排序，然后跑一遍最小生成树就行了。
所以我们就枚举$mid$，然后跑最小生成树，用这些边求出标准差即可。
那么枚举$mid$的误差应该在多少以内呢？
我们假设有两条边的长度分别为$5,7$，那么我们枚举到6时，如果选择5会比选择7更优，但是我们是根据与$mid$的差值排序的，此时两者一样，可能我们就优先选择7了。
所以$mid$的误差应该是小于1的。
同理，如果取0.5的话，两条边长度为5和6，同样可能选择更劣的一条边。
但是如果选择0.25的话，会选择劣势的边就只有两条边的长度只差为0.5，但是题目要求长度为整数，所以我们得到了如果2x<1，那么x就是一种可行的选择。
但是同时需要注意，我们枚举的误差$x$一定要满足$\frac{1}{x}\in\Z^+$。这样就可以满足取多个$mid$后一定可以从$x$变成$x+1$。
所以只要满足两个要求的误差即可：

• $x<0.5$
• $\frac{1}{x}\in\Z^+$

这里我取的是误差$=0.1$。显然是满足以上要求的。

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代码：

Download 
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=5010;
int n,m,tot,father[N];
double ave,ans,sum,mid,dis[N];

struct edge
{
	int from,to,dis;
}e[N];

bool cmp(edge x,edge y)
{
	return fabs((double)x.dis-mid)<fabs((double)y.dis-mid);
}

int find(int x)
{
	return x==father[x]?x:father[x]=find(father[x]);
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].dis);
	ans=1000000000000.0;
	for (mid=0;mid<=100;mid+=0.1)
	{
		sort(e+1,e+1+m,cmp);
		for (int i=1;i<=n;i++)
			father[i]=i;
		tot=0; ave=sum=0;
		for (int i=1;i<=m;i++)
		{
			int x=e[i].from,y=e[i].to;
			if (find(x)!=find(y))
			{
				dis[++tot]=(double)e[i].dis;
				ave+=dis[tot];
				father[find(x)]=find(y);
			}
		}
		ave/=(double)(n-1);
		for (int i=1;i<n;i++)
			sum+=(dis[i]-ave)*(dis[i]-ave);
		ans=min(ans,sqrt(sum/(double)(n-1)));
	}
	printf("%0.4lf",ans);
	return 0;
}