【洛谷P2473】奖励关【期望dp】

吐槽

CSDN的界面真的是越来越丑了$qwq$
希望可以保留原来的样式吧，真的不是很喜欢现在的界面了。
搞不好到时候又要去注册博客园或者自己搭建博客了。

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题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P2473
有$n$个物品，每一个时刻随机生成一个物品，选择该物品能获得$a_i$的价值，但是选择一些物品可能需要先选择其他物品。求最优策略下期望价值。

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思路：

$\ \ \ \ \ \uparrow$ 哇这个人的期望$dp$是真的菜

最直接的想法是设$f[i][s]$表示到第$i$个时刻，选择物品的集合为$s$的期望价值。
但是我们发现可能第$i$个时刻无法到达集合为$s$的情况。这样我们的阶段设的就有问题了。
所以为了避免这种情况，我们需要逆推来解决这个问题。也就是说，我们从结束时的情况反推会开始时的情况。
那么枚举第$i$个时刻出现的物品$j$，如果$s$中包含所有需要在选择物品$j$必须选择的物品，那么就是可以选择物品$j$的，但是同时也可以不选择物品$j$。由于题目求最优情况下的期望，所以就在这两个中间取一个$max$即可。
如果$s$不包含所有的必选物品，那么这个位置就不能取$j$了，直接用下一位取$j$的答案赋值即可。
注意每一次是随机出现的，所以每一个物品的价值都要除以$n$。
时间复杂度$O(nm2^m)$。

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代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=110,MAXN=1<<16;
int n,m,maxn,x,a[N],p[N];
double f[N][MAXN];

int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		while (scanf("%d",&x)==1)
		{
			if (!x) break;
			p[i]|=(1<<x-1);
		}
	}
	maxn=1<<n;
	for (int i=m;i>=1;i--)
		for (int s=0;s<maxn;s++)
		{
			for (int j=1;j<=n;j++)
				if ((s&p[j])==p[j]) f[i][s]+=max(f[i+1][s],f[i+1][s|(1<<j-1)]+a[j]);
					else f[i][s]+=f[i+1][s];
			f[i][s]/=(double)n;  //注意需要除以n
		}
	printf("%0.6lf",f[1][0]);
	return 0;
}