向量场微商

考研复习

向量场

定义

所谓向量场是指空间中某个区域中，每一点对应一个向量。向量场是物理等学科中速度场、力场、电场、磁场等“场”的概念的概括。一个点若只对应一个数量，则称之为数量场。在后来的应力之类更为复杂的情况下，还存在张量场。
对于向量场$\mathcal{v}$，当$$\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathcal{v}(x+\mathrm{\Delta }x,y,z)-\mathit{v}(x,y,z)}{\mathrm{\Delta }x}$$
存在时，就定义为该向量场对x的微商。同理定义对y对z的。在直角坐标系下，偏微商可以定义为：

$$\frac{\partial \mathcal{v}}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial x}\mathit{i}+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathit{j}+\frac{\partial R}{\partial z}\mathit{k}$$

如果P、Q、R都有连续的偏导数，则称该向量场为光滑向量场。

梯度散度旋度

梯度

梯度前面已经提到。其对应方向是是数量场曲面上函数值下降速度最快的一个方向。
相关重要式子有：

$$d\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi d\mathit{r}$$

其中$\varphi$是函数。
我们将梯度运算抽象成了一个算符，记为$\mathrm{\nabla }$算符，称为Nabla算符。Nabla算符本身也是一个向量，但同时它还具有微分操作，因此在带Nabla算符的向量运算时，我们要既考虑到其向量性，又要考虑到其微分性。

散度

散度定义为：

$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

注意：散度是标量。

旋度

$$\mathrm{\nabla }\times \mathit{v}=(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathit{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathit{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathit{k}$$

建议与前面的两向量叉乘一起记，注意这里Nabla蒜子是放在前面的。

计算

在普通计算中，我们有

$$(a+b)\mathit{c}=a\mathit{c}+b\mathit{c}$$

由Nabla的向量性，有：

$$\mathrm{\nabla }(\varphi +\psi )=\mathrm{\nabla }\varphi +\mathrm{\nabla }\psi$$

同理旋度散度也可同理使用分配率。
至于

$$\mathrm{\nabla }(\varphi \psi )=\varphi \mathrm{\nabla }\psi +\psi \mathrm{\nabla }\varphi$$

可理解为微分性：

$$d(\mathit{a}\cdot \mathit{b})=\mathit{a}\cdot d\mathit{b}+d\mathit{a}\cdot \mathit{b}$$

及向量中的乘法交换组成。
同理

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\varphi \mathit{a})=\varphi \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{a}+\mathit{a}\cdot \mathrm{\nabla }\varphi$$

对于叉乘，我们有：

$$d(\mathit{r}\times \mathit{p})=d\mathit{r}\times \mathit{p}+\mathit{r}\times d\mathit{p}$$

同时在Nabla中，这个"d"具有向量性，再考虑到叉乘的顺序问题，我们可得：

$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathit{a}\times \mathit{b})=\mathit{b}\cdot \mathrm{\nabla }\times \mathit{a}-\mathit{a}\cdot \mathrm{\nabla }\times \mathit{b}$$

$$\mathrm{\nabla }\times (\varphi \mathit{a})=\mathrm{\nabla }\varphi \times \mathit{a}+\varphi \mathrm{\nabla }\times \mathit{a}$$

$Nabla$算符在其他坐标系的表示

柱坐标系

易得：

$$\frac{\partial \mathit{r}}{\partial r}=cos\theta \mathit{i}+sin\theta \mathit{j}=e_r$$

$$\frac{\partial \mathit{r}}{\partial \theta }=-rsin\theta \mathit{i}+rcos\theta \mathit{j}=r{e}_{\theta }$$

$$\frac{\partial \mathit{r}}{\partial z}=\mathit{k}=e_z$$

这里我们通过对新坐标求导，引进了三个向量组成向量基。
与直角坐标系里三个方向完全无关不同，这里：

$$\frac{\partial e_r}{\partial \theta }=e_{\theta }$$

$$\frac{\partial e_{\theta }}{\partial \theta }=-e_r$$

至于算子$\mathrm{\nabla }$在柱坐标系下是什么样的，我们可由：

$$\mathrm{\nabla }u\cdot d\mathit{r}=\frac{\partial u}{\partial r}dr+\frac{\partial u}{\partial \theta }d\theta +\frac{\partial u}{\partial z}dz$$

以及

$$d\mathit{r}=dr{e}_r+rd\theta e_{\theta }+dz{e}_z$$

得到：

$$\mathrm{\nabla }u=\frac{\partial u}{\partial r}{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }{e}_{\theta }+\frac{\partial u}{\partial z}{e}_z$$

从而算子易得。
进一步地，我们可得：

$$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}$$

球坐标系

同样的，我们还是利用$du=\mathrm{\nabla }u\cdot d\mathit{r}$，以及$d\mathit{r}=dr{e}_r+rd\theta e_{\theta }+rsin\theta d\varphi e_{\varphi }$
可得：

$$\mathrm{\nabla }=e_r\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}{e}_{\theta }\frac{\partial u}{\partial \theta }+\frac{1}{rsin\theta }{e}_{\varphi }\frac{\partial }{\partial \varphi }$$

进而可得：

$$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial }{\partial r})+\frac{1}{r^{2}sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{r^{2}sin{\theta }^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}$$

正交坐标系

在数学里，一个正交坐标系定义为一组正交坐标$\mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3,\dots q_n)$，其坐标曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐标曲面定义为特定坐标$q_i$的等值曲面，即$q_i$为常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三维直角坐标$(x,y,z)$是一种正交坐标系，它的$x$为常数，$y$为常数，$z$为常数的坐标曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。

正交坐标时常用来解析一些出现于量子力学、流体动力学、电动力学、热力学等等的偏微分方程。除此之外，正交坐标还可以涉及到对物体运动状态的不同描述（比如哈密顿力学中的正则变换）。