考研复习
向量场
定义
所谓向量场是指空间中某个区域中，每一点对应一个向量。向量场是物理等学科中速度场、力场、电场、磁场等“场”的概念的概括。一个点若只对应一个数量，则称之为数量场。在后来的应力之类更为复杂的情况下，还存在张量场。
对于向量场\(\boldsymbol{\mathcal{v}}\)，当$$\frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{v}}}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\mathcal{\boldsymbol{v}}(x+\Delta x,y,z)-\boldsymbol{v}(x,y,z)}{\Delta x}$$
存在时，就定义为该向量场对x的微商。同理定义对y对z的。在直角坐标系下，偏微商可以定义为：
\[\frac{\partial \boldsymbol{\mathcal{v}}}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial x}\bm{i}+\frac{\partial Q}{\partial y}\bm{j}+\frac{\partial R}{\partial z}\bm{k}
\]
如果P、Q、R都有连续的偏导数，则称该向量场为光滑向量场。
梯度散度旋度
梯度
梯度前面已经提到。其对应方向是是数量场曲面上函数值下降速度最快的一个方向。
相关重要式子有：
\[d\phi = \nabla \phi d\bm{r}
\]
其中\(\phi\)是函数。
我们将梯度运算抽象成了一个算符，记为\(\nabla\)算符，称为Nabla算符。Nabla算符本身也是一个向量，但同时它还具有微分操作，因此在带Nabla算符的向量运算时，我们要既考虑到其向量性，又要考虑到其微分性。
散度
散度定义为：
\[\nabla\cdot \bm{v} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
\]
注意：散度是标量。
旋度
\[\nabla \times \bm{v} = (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} )\bm{i}+(\frac{\partial P}{\partial z} -\frac{\partial R}{\partial x})\bm{j}+ (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\bm{k}
\]
建议与前面的两向量叉乘一起记，注意这里Nabla蒜子是放在前面的。
计算
在普通计算中，我们有
\[(a+b)\bm{c} = a\bm{c}+b\bm{c}
\]
由Nabla的向量性，有：
\[\nabla(\phi+ \psi)=\nabla \phi + \nabla \psi
\]
同理旋度散度也可同理使用分配率。
至于
\[\nabla(\phi\psi) = \phi \nabla \psi+ \psi \nabla \phi
\]
可理解为微分性：
\[d(\bm{a}\cdot\bm{b}) = \bm{a}\cdot d\bm{b}+d\bm{a}\cdot \bm{b}
\]
及向量中的乘法交换组成。
同理
\[\nabla \cdot (\phi \bm{a} )= \phi\nabla\cdot\bm{a}+\bm{a}\cdot \nabla \phi
\]
对于叉乘，我们有：
\[d(\bm{r}\times \bm{p} )=d\bm{r}\times \bm{p}+\bm{r}\times d\bm{p}
\]
同时在Nabla中，这个"d"具有向量性，再考虑到叉乘的顺序问题，我们可得：
\[\nabla \cdot (\bm{a}\times\bm{b}) = \bm{b}\cdot \nabla \times \bm{a}-\bm{a}\cdot \nabla \times \bm{b}
\]
\[\nabla \times(\phi \bm{a}) = \nabla \phi \times \bm{a}+\phi\nabla \times \bm{a}
\]
\(Nabla\)算符在其他坐标系的表示
柱坐标系
易得：
\[\frac{\partial \bm{r}}{\partial r} = cos\theta \bm{i}+sin\theta \bm{j}=e_r
\]
\[\frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta} = -rsin\theta \bm{i}+rcos\theta \bm{j}=re_\theta
\]
\[\frac{\partial \bm{r}}{\partial z} = \bm{k} = e_z
\]
这里我们通过对新坐标求导，引进了三个向量组成向量基。
与直角坐标系里三个方向完全无关不同，这里：
\[\frac{\partial e_r}{\partial \theta } = e_\theta
\]
\[\frac{\partial e_\theta }{\partial \theta } = -e_r
\]
至于算子\(\nabla\)在柱坐标系下是什么样的，我们可由：
\[\nabla u\cdot d\bm{r} = \frac{\partial u}{\partial r}dr+\frac{\partial u}{\partial \theta}d\theta+\frac{\partial u}{\partial z}dz
\]
以及
\[d\bm{r} = dre_r + rd\theta e_\theta +dze_z
\]
得到：
\[\nabla u =\frac{\partial u}{\partial r}e_r+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}e_\theta+\frac{\partial u}{\partial z}e_z
\]
从而算子易得。
进一步地，我们可得：
\[\Delta = \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
\]
球坐标系
同样的，我们还是利用\(du = \nabla u \cdot d\bm{r}\)，以及\(d\bm{r} = dre_r+rd\theta e_\theta+rsin\theta d\phi e_\phi\)
可得：
\[\nabla = e_r\frac{\partial }{\partial r}+ \frac{1}{r}e_\theta\frac{\partial u}{\partial \theta}+\frac{1}{rsin\theta}e_\phi\frac{\partial }{\partial \phi}
\]
进而可得：
\[\Delta = \frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+ \frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}(sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin\theta^2}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}
\]
正交坐标系
在数学里，一个正交坐标系定义为一组正交坐标\({\mathbf {q}}=(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots \ q_{n})\)，其坐标曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐标曲面定义为特定坐标\(q_i\)的等值曲面，即\(q_i\)为常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三维直角坐标\((x,\ y,\ z)\)是一种正交坐标系，它的\(x\)为常数，\(y\)为常数，\(z\)为常数的坐标曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。
正交坐标时常用来解析一些出现于量子力学、流体动力学、电动力学、热力学等等的偏微分方程。除此之外，正交坐标还可以涉及到对物体运动状态的不同描述（比如哈密顿力学中的正则变换）。
