二项分布与泊松分布

二项分布

基本概念

n次伯努利实验正好出现k次成功的概率为：

$$b(k;n,p)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k},k=0,1,2,...,n$$

其他性质上篇已经讲了，这里说新的。
首先是中心项与最可能成功次数。$b(k;n,p)$最大的项被称之为中心项，对应的k称为最可能成功次数（注意可能有两个k）。记m为最可能成功次数，则有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}b(m;n,p)=(2\pi npq{)}^{-\frac{1}{2}}$$

应用

常见应用：验收时产品抽样
抽n件产品进行检验，当废品数小于c时，接受该批次产品，否则拒绝。由于抽样的随机性，任何验收方案都可能犯两类错误：一是拒收一批合格品，二是接受一批不合格品。前者为生产者风险，后者为消费者风险。我们力求两个风险都减少。
为了刻画验收方案的性能，一般引进$L(p)$，表示当废品率为p时接受该批次产品的概率。若以p为横坐标，$L(p)$为纵坐标作图，则所得的曲线称为抽样特性曲线，简称OC曲线。问题归结为找n和c，使得：

$$L(p)\ge 1-\alpha ,\mathrm{当}p\le p_0$$

$$L(p)\le \beta ,\mathrm{当}p>p_1$$

$\alpha$ ，$\beta$按需给定。前者衡量生产者风险，越小生产者风险越小；后者衡量消费者风险，越小消费者风险越小。如图更易理解：

泊松分布

泊松分布基本性质

二项分布肉眼可见地难算。n稍微一大，就可能再也无法用计算机算出来精确值。为了解决这个问题，柏松找到了一个近似的公式。泊松分布是离散分布，各样本点概率如下：

$$P_{\lambda }(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2....$$

下面说明为什么

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}b(k;n,p)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

记$\lambda =np$，则

$$b(k;n,p)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\frac{{\lambda }^k}{n^k}(1-\lambda /n{)}^{n-k}$$

然后可处理为：

$$\frac{{\lambda }^k}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}$$

我们易得：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\lambda /n{)}^{n-k}=e^{-\lambda }$$

以及

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})=1$$

从而可得：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}b(k;n,p)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

期望与方差

首先是期望。

$$E(X)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^k/(k-1)!e^{-\lambda }=\lambda \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{k-1}/(k-1)!e^{-\lambda }=\lambda$$

总之不难。
然后是方差。与前面求二项分布的那个类似，易得：

$$Var(X)=\lambda$$

应用

应用中，一般当p小于0.1时可以用泊松分布。现在泊松分布的应用越来越广，且已经离原来引用的初衷越来越远。
生活中许多随机现象是服从泊松分布的。比如社会生活，比如物理学中。对泊松分布进行深入研究后，还发现其具有很多特殊性质，其似乎是是许多随机现象的基础。

泊松过程

引理

柯西定理
若$f(x)$连续或单调，且对任意$x$,$y$都有

$$f(x)f(y)=f(x+y)$$

则

$$f(x)=a^x$$

柏松过程

定义：一个计数过程 $\left\{N(t),t⩾0\right\}$是泊松过程，则其具有参数 $\lambda$， $\lambda >0$，且满足以下条件：
（i）$N(0)=0$；
（ii）过程具有独立增量，即在不相交的时间区间内，事件发生的个数是相互独立的；
（iii）在任一长度为 t的时间区间内，事件发生的个数服从均值为 $\lambda t$的泊松分布，即对任意 $s,t⩾0$有

$$P\{N(t+s)-N(s)=n\}=e^{-\lambda t}\frac{{\lambda t}^n}{n!},n=0,1,\dots$$

典型应用：
记电话呼叫数。