似然函数、最大似然估计简单理解

 

摘抄自维基百科：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BC%E7%84%B6%E5%87%BD%E6%95%B0

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E4%BC%BC%E7%84%B6%E4%BC%B0%E8%AE%A1

 

似然函数（Likelihood function、Likelihood）

 

　　在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

　　在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：

　　利用贝叶斯定理，

　　因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

　　注意到这里并不要求似然函数满足归一性：。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有，都可以有似然函数：

 

最大似然估计（maximum likelihood estimation ，MLE）

　　给定一个概率分布，已知其概率密度函数（连续分布）或概率质量函数（离散分布）为，以及一个分布参数，我们可以从这个分布中抽出一个具有个值的采样

但是，我们可能不知道的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布。那么我们如何才能估计出呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有个值的采样，然后用这些采样数据来估计.

一旦我们获得，我们就能求得一个关于的估计。最大似然估计会寻找关于的最可能的值（即，在所有可能的取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的值。

要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义似然函数:

并且在的所有取值上通过令一阶导数等于零，使这个函数取到最大值。这个使可能性最大的值即称为的最大似然估计。

注意

• 这里的似然函数是指不变时，关于的一个函数。
• 最大似然估计函数不一定是惟一的，甚至不一定存在。

 

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极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值！

换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。

 

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另外，可以看这篇文章，有比较详细的例子介绍：

深入浅出最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）

 https://zhuanlan.zhihu.com/p/26614750