POJ2069 最小球覆盖 几何法和退火法

对这种问题不熟悉的读者 可以先去看一看最小圆覆盖的问题 ZOJ1450

现在我们来看最小球覆盖问题POJ2069 题目很裸，给30个点 求能覆盖所有点的最小球的半径。

先给出以下几个事实：

1.对于一个点，球心就是这个点且半径无穷小。

2.对于两个点，球心是两个点线段的中点，半径就是线段长度的一半。

3.对于三个点，三个点构成的平面必为球的大圆，所以球心是三角形的外心，半径就是球心到某个点的距离。

4.对于四个点，若四个点共面则转化到3，只需考虑某三个点的情况，若四点不共面，四面体可以唯一确定一个外接球。

5.对于五个及以上点，其最小球必为其中某4个点的外接球（假设不全共面）。

C(30,4)是可以接受的复杂度。在编程实现的时候，碰到不在球内的点，就让它成为球面上的点，期望复杂度为O（n）。

 

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以上我们给出了一般的几何解法，但是求三角形外心和四面体的外界球，方程很复杂，代码量也很大，有没有简单的方法呢？

 

我们根据以上5个事实，可以知道所谓最小球的球心，它必然处于一个稳定态，也就是与它距离最远的点最多有4个且等距离。

于是，我们首先任选一个点作为球心，并找到点集中与它距离最远的点，我们让球心靠近最远的点，不断重复此过程，就可以让球心达到稳定态了！此时我们就找到了最小球。

#include <iostream>  
#include<cstdio>  
#include<algorithm>  
#include<cstring>  
#include<cmath>  
using namespace std;  
const double eps=1e-7;  
struct point3D  
{  
    double x,y,z;  
} data[35];  
int n;  
double dis(point3D a,point3D b)  
{  
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)+(a.z-b.z)*(a.z-b.z));  
}  
double solve()  
{  
    double step=100,ans=1e30,mt;  
    point3D z;  
    z.x=z.y=z.z=0;  
    int s=0;  
    while(step>eps)  
    {  
        for(int i=0; i<n; i++)  
            if(dis(z,data[s])<dis(z,data[i])) s=i;  
        mt=dis(z,data[s]);  
        ans=min(ans,mt);  
        z.x+=(data[s].x-z.x)/mt*step;  
        z.y+=(data[s].y-z.y)/mt*step;  
        z.z+=(data[s].z-z.z)/mt*step;  
        step*=0.98;  
    }  
    return ans;  
}  
int main()  
{ // freopen("t.txt","r",stdin);
    double ans;  
    while(~scanf("%d",&n),n)  
    {  
        for(int i=0; i<n; i++)  
            scanf("%lf%lf%lf",&data[i].x,&data[i].y,&data[i].z);  
        ans=solve();  
        printf("%.5f\n",ans);  
    }  
    return 0;  
}