dp的进阶 (一)
熟练掌握dp的定义方法。
①四维dp的转移，生命值转移时候需要注意的
②集合的定义，判断二进制内部是否有环
③很难想到的背包问题
④博弈类型的dp
⑤排列组合类型dp
⑥01背包的变种（01背包+完全背包）
⑦codeforces Good bye 2016 E 线段树维护dp区间合并
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一：http://www.cnblogs.com/heimao5027/p/5988770.html
四维dp 或者 剪枝 + dfs Codeforces Beta Round #6 (Div. 2 Only) D
定义方法：
定义dp[i][j][k][z]表示目前攻击第i个人，j表示第i-1个人的生命，k表示第i个人的生命，z表示第i+1个人的生命。然后转移需要注意一下以下方面
①简单的转移：dp[i][j - b][k - a][z - b] = dp[i][j][k][z];
②如果j-b以后的生命值为0了，那么dp[i+1][k - a][z - b][h[i + 2]]=dp[i][j][k][z] + 1;
③如果j本来就为0，那么dp[i+1][k][z][h[i + 2]] = dp[i][j][k][z];
学习转移：如果其中一个的生命值为0，可以往下一个位置进行转移
二:http://codeforces.com/problemset/problem/11/D
状压dp判断连通环的个数
题目大意：给你n个点，m条边，找该图中有几个换
思路：定义dp[i][j]表示i是圈的集合，j表示该集合的终点，定义起点为这些走过的点里面最小的。然后dp就表示为i集合中所有的环的种类数
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") const int maxn = 19; LL dp[1 << maxn][maxn + 5]; int a[maxn + 5][maxn + 5]; int n, m; void get_min(int val, int &cnt, int &st){ int pos = 0; while (val){ if (val & 1) st = min(st, pos), cnt++; val >>= 1; pos++; } } ///定义dp[i][j]表示i是圈的集合，j表示该集合的终点，定义起点为这些走过的点里面最小的 int main(){ cin >> n >> m; for (int i = 1; i <= m; i++){ int u, v; scanf("%d%d", &u, &v); u--, v--; a[u][v] = a[v][u] = 1; } LL ans = 0; for (int i = 0; i < n; i++) dp[1 << i][i] = 1;///初始化 for (int i = 1; i < (1 << n); i++){ int cnt = 0, st = n; get_min(i, cnt, st); for (int j = 0; j < n; j++){ if (dp[i][j]){///目前集合为i，终点为j。而且根据放入集合的顺序，j必然是在i集合里面的 if (a[st][j] && cnt >= 3){///放入集合的最终的终点一定得是在st的旁边。否则会将形不成环的放入ans中 ans += dp[i][j]; } for (int k = st + 1; k < n; k++){///放入终点大于st的。根据定义st必然为最小的起点。 ///然后k<st的已经在更小的状态中全部都计算过了 if (a[j][k] && !(i & (1 << k))){ dp[i | (1 << k)][k] += dp[i][j]; } } } } } /*haha; for(int i = 0; i < n; i++){ for (int j = 0; j < (1 << n); j++){ printf("%lld ", dp[j][i]); } cout << endl; }*/ cout << ans / 2 << endl; return 0; }
学习：集合的定义、终点的定义的学习
当然，看到有位大牛使用记忆化写的。
/************* 看了大神的博客才有所感悟啊，记忆化搜索+状态压缩。。。。太神了... 这种复杂度，近百万的DFS复杂度居然没有TLE，果然经验不足，菜鸟一只。 用状态压缩枚举起点和可能经过的点。 可以判定的简单通路 i->j，存在的条数为sum(i->k) 其中k,j之间有边。 当然，每次计算通路个数的时候，可以借每一个k来判断回路的条数，当然只能算一次。 这样加出来的回路会有重复，因为可能把顺逆两种方向运动的回路都考虑进去。 记忆化搜索的好处是可以精确的计算每次遍历点的情况，而如果单纯只是循环的话，却没有这么 灵活。 ****************/ #define LL long long #include<cstdio> #include<cstring> #define haha printf("haha\n") const int LMT=22,LMS=1<<19; LL dp[LMS][LMT],ans; int n,start,tem,gra[LMT][LMT]; int get_one(int x){ int res=0; do res += x&1; while(x >>= 1); return res; } int left(int x){ int pos = 0; while (x){ if (x & 1) return pos; x >>= 1; pos++; } return pos; } LL dfs(int mas,int end){ if(dp[mas][end] >= 0)return dp[mas][end]; LL res = 0; for(int j = start; j < n; j++){ if(gra[j][end] && ((1 << j) & mas) && (tem == 2 || j != start)){ ///if (tem == 2 && j == start) haha; /**j是可以等于start的，当tem==2，因为这个时候集合里面就只有两个元素了 所以只有在这样的情况下，j才能等于tem**/ tem--; res+=dfs(mas^(1<<end),j); tem++; } } if(tem > 2 && gra[end][start]){ ans += res; } dp[mas][end] = res; return res; } int main(){ int m; scanf("%d%d",&n,&m); memset(dp,-1,sizeof(dp)); while(m--){ int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); u--;v--; gra[u][v] = gra[v][u] = 1; } for(int i = 0;i < n; i++) dp[1 << i][i] = 1; for(int t = 0; t < (1 << n); t++){ start = left(t);///以集合中最小的为起点 tem = get_one(t);///有几个1 for(int j = start + 1; j < n && tem > 1; j++){ if(gra[j][start] && ((1<<j) & t)){///以集合中最小的周围的两个为终点 dfs(t,j); } } } printf("%I64d\n",ans / 2); return 0; }
三：http://codeforces.com/problemset/problem/730/J
题目大意：你有n个杯子，每个杯子里面有a[i]升水，每个杯子的容量为b[i]。问，用最少的杯子来装这些水，在该前提下，倒水所用的时间最短（倒1L水需要1秒）
思路：我的心路历程很复杂= =。dp一直定义不对，起初是（balabal，还是写在代码中了，这里就不提了）
然后说一下正确的，定义dp(i,j)表示i个水杯，里面有jL水的最大容量。然后转移就好了。
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000") #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") const int maxn = 100 + 5; int n; /* 定义dp(i, j) 假设当前使用i个杯子装水，可装容量为j，所需要的最短时间 定义dp(i, j, f)，表示i~j区间内装f个杯子，所需要的最少时间 定义dp(i, j) 当前为第i个杯子，可用容量为j，所需要的最少的杯子个数 如果杯子个数一样，那么就记录下时间 并且维护一下前一个该区间的可用容量 定义dp(i, j) 用i个杯子，目前i个杯子里面的含水量为j的容量最大的值 */ int b[maxn]; int dp[maxn][maxn * maxn]; pair<int, int> a[maxn]; int main(){ scanf("%d", &n); int watersum = 0; for (int i = 1; i <= n; i++){///已有体积 scanf("%d", &a[i].fi); watersum += a[i].fi; } for (int i = 1; i <= n; i++){///容量 scanf("%d", &a[i].se); b[i] = a[i].se; } sort(b + 1, b + 1 + n); int cnt = 0, sum = 0; for (int i = n; i > 0; i--){ sum += b[i]; cnt++; if (sum >= watersum) break; } memset(dp, -1, sizeof(dp)); dp[0][0] = 0; for (int i = 1; i <= n; i++){ for (int j = sum; j >= a[i].fi; j--){ for (int k = i; k >= 1; k--){ if (dp[k - 1][j - a[i].fi] != -1){ dp[k][j] = max(dp[k][j], dp[k - 1][j - a[i].fi] + a[i].se); } } } } int ans = 0x3f3f3f3f; for (int i = sum; i >= 0; i--){ if (dp[cnt][i] != -1 && dp[cnt][i] >= watersum){ ans = min(ans, watersum - i); } } printf("%d %d\n", cnt, ans); return 0; }
学习：讲道理这道题我一直想着正向推，结果思维定式了。这题应该反过来定义最大容量然后逆向推的，我还是太菜了
四：Codeforces Round #376 (Div. 2) E
题目大意：每次都选左边k(2<=k<=m)个合并，然后那个人得到合并以后的val，并且将这个val放在最左边。问两个人都采取最优的方法。问差值最大的几？
思路一：dfs的方法
因为每次都至少取两个，且每次取过以后就合并，所以不难想到要维护一下前缀和。然后就是我们发现，每次取的时候要么是某个人接着取，要么就是那个人不取了，换成另外一个人取，所以每个位置会有两种决策，但是前缀和的维护还是不变的。所以我们用dfs可以很简单的时间这种思路。复杂度O(n)
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000") #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") /* 题目大意： 每次都选左边k(2<=k<=m)个合并，然后那个人得到合并以后的val，并且将这个val放在最左边 问两个人都采取最优的方法。问差值最大的几？ */ const int maxn = 200000 + 5; LL sum[maxn]; int n; LL dfs(int pos){ if (pos == n) return sum[n]; LL val = dfs(pos + 1); return max(val, sum[pos] - val); } int main(){ scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++){ LL val; scanf("%lld", &val); sum[i] = sum[i - 1] + val; } printf("%lld\n", dfs(2)); return 0; }
关键：要明白每一次取的val是要么一个人接着取，要么就换一个人。我之所以卡住了是因为每次dp的时候都想要把所有的都合并起来，所以没有想到这里
五：Codeforces Round #187 (Div. 1) C
题目大意：给你一个len=n的数字串，你需要找出他所有的非空非严格递增的子序列。然后把所有子序列的和输出即可。
例如样例二的解释为：给你一个1 2 2的串，他的子串有：{1}{2}{1,2}{2,2}{1,2,2}
思路：orz，以前没想到自己竟然做过一遍，然后做过一遍以后现在再做又不会了，果然是没有定时复习的缘故吧？
定义dp(i)表示目前以数字i为结尾的所有子串的val和，那么dp[K] =( dp[0] + dp[1] + dp[2] +... + dp[K] ) * K + K; 所以要用到个东东动态统计前缀和
举例：1 2 3
第一步：{1}
第二步：{1,2} {2}
第三步：{1,2,3}{2,3}{3}
所以dp(k)的转移方程就很容易可以写出来了
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int mod = 1e9 + 7; const int maxa = 1000000 + 50; int n; ll a[maxa]; ll b[maxa]; ll tree[maxa << 2]; ll sum(ll x){ ll res = 0; while (x){ res = (res + tree[x]) % mod; x -= x & -x; } return res % mod; } void add(ll x, ll val){ while (x <= maxa){ tree[x] = (tree[x] + val) % mod; x += x & -x; } } int main(){ scanf("%d", &n); ll res = 0; for (int i = 1; i <= n; i++){ ll t; scanf("%lld", &t); ll tmp = sum(t); tmp = (tmp * t + t) % mod; res = (res + tmp - a[t] + mod) % mod; add(t, tmp - a[t]); a[t] = tmp; } printf("%lld\n", res); return 0; }
关键：题目一定要读懂，明白方式搭配
六：HDU 3033
题目大意：题意：有S款运动鞋，一个n件，总钱数为m，求不超过总钱数且每款鞋子至少买一双的情况下，使价值最大。如果 有一款买不到，就输出“Impossible"。
思路：这个题的关键还是在于初始化，如果我们一开始把dp初始化为0，则当所有鞋子的价值都是0时，我们就无法区分是买不全那几款鞋子还是能买全但最大价值是0；因此，要把S！=0的dp[S][j]初始化为-1，便于区分。
这是一个带分组的01背包问题，与普通分组背包不同的是，这个分组背包关键在于每组至少取1个，而不是最多1个。
dp[i][k]是不选择当前鞋子；
dp[i-1][k-v[j]]+w[j]是选择当前鞋子，但是是第一次在本组中选，由于开始将该组dp赋为了-1，所以第一次取时，必须由上一组的结果推知，这样才能保证得到全局最优解；//01背包部分
dp[i][k-v[j]]+w[j]表示选择当前鞋子，并且不是第一次取。//完全背包部分
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000") #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") /* 题目大意：有n个鞋子，有m元，k类鞋子 输入n行，每行表示种类，价格，和val 并且每种鞋子都至少选一个 */ const int maxn = 10000 + 5; vector<pair<int, LL> > ve[30]; int n, m, k; LL dp[30][maxn]; /* 定义dp(i, j)表示目前是第i种商品，还剩下j元 */ LL solve(){ memset(dp, -1, sizeof(dp)); LL ans = -1; for (int j = 0; j <= m; j++) dp[0][j] = 0; for (int i = 1; i <= k; i++){ for (int f = 0; f < ve[i].size(); f++){ for (int j = m; j >= ve[i][f].fi; j--){ //if (dp[i - 1][j - ve[i][f].fi] == -1) continue; dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - ve[i][f].fi] + ve[i][f].se, max(dp[i][j], dp[i][j - ve[i][f].fi] + ve[i][f].se)); } } } for (int i = 0; i <= m; i++){ ans = max(ans, dp[k][i]); } return ans; } int main(){ while (scanf("%d%d%d", &n, &m, &k) == 3){ for (int i = 1; i <= k; i++) ve[i].clear(); for (int i = 1; i <= n; i++){ int a, b, c; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); if (b > m) continue; ve[a].push_back(mk(b, 1LL * c)); } LL val = solve(); if (val >= 0) printf("%lld\n", val); else puts("Impossible"); } return 0; } /* 5 50 3 1 10 20 1 15 30 3 10 60 3 15 30 2 10 10 ans : 130 */
关键：既要掌握01背包的dp，又要掌握完全背包的dp，
七：链接：这里
codeforces Good bye 2016 E 线段树维护dp区间合并
题目大意：给你一个字符串，范围为‘0’~'9'，定义一个ugly的串，即串中的子串不能有2016，但是一定要有2017，问，最少删除多少个字符，使得串中符合ugly串？
思路：定义dp(i, j)，其中i=5，j=5，因为只需要删除2016当中其中一个即可，所以一共所需要删除的字符和需要的字符为20176，因此i和j只要5就够了。
然后转移就是dp(i,i) = 0, 如果说区间大小为1的话，那么如果是2017中的一个，那么就是dp(pos, pos+1) = 0, dp(pos,pos) = 1。但是如果pos为'6'这个字符，那么定义6这个pos=x转移就要为dp[x-1][x-1] = dp[x][x] = 1.然后我们再去转移就好了。
然后最后一定要注意线段树的合并顺序哦
//看看会不会爆int!数组会不会少了一维！ //取物问题一定要小心先手胜利的条件 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000") #define LL long long #define ALL(a) a.begin(), a.end() #define pb push_back #define mk make_pair #define fi first #define se second #define haha printf("haha\n") /* 定义dp(x,i,j)表示区间[0,x)内能够获得的2017的前缀长度为i的，至少要删除多少个字符 最少要删除多少个才能构成前缀为j的2017,然后我们不需要去管x，只需要用线段树去维护i，j即可。 */ const int inf = 0x3f3f3f3f; const int maxn = 200000 + 5; struct Node{ int dp[5][5]; }tree[maxn << 2]; int n, q; char ch[maxn]; map<char, int> id; inline void init(Node &t){ for (int i = 0; i < 5; i++) for (int j = 0; j < 5; j++) t.dp[i][j] = inf; } Node Merge(Node a, Node b){ Node tmp; init(tmp); for (int i = 0; i <= 4; i++) for (int j = i; j <= 4; j++) for (int k = i; k <= j; k++) tmp.dp[i][j] = min(tmp.dp[i][j], a.dp[i][k] + b.dp[k][j]); return tmp; } void display(Node t){ for (int i = 0; i < 5; i++){ for (int j = 0; j < 5; j++) printf("%d ", t.dp[i][j]); cout << endl; } } void buildtree(int l, int r, int o){ if (l == r){ init(tree[o]); for (int i = 0; i < 5; i++) tree[o].dp[i][i] = 0; int pos = id[ch[l]]; if (pos <= 3) tree[o].dp[pos][pos] = 1, tree[o].dp[pos][pos + 1] = 0; if (pos == 4) tree[o].dp[3][3] = tree[o].dp[4][4] = 1; return ; } int mid = (l + r) / 2; if (l <= mid) buildtree(l, mid, o << 1); if (r > mid) buildtree(mid + 1, r, o << 1 | 1); tree[o] = Merge(tree[o << 1], tree[o << 1 | 1]); //display(tree[o]); } Node ans; void query(int ql, int qr, int l, int r, int o){ if (ql <= l && qr >= r) { if (ql == l) ans = tree[o]; else ans = Merge(ans, tree[o]); return ; } int mid = (l + r) / 2; if (ql <= mid) query(ql, qr, l, mid, o << 1); if (qr > mid) query(ql, qr, mid + 1, r, o << 1 | 1); } int main(){ int cnt = 4; id['2'] = 0, id['0'] = 1, id['1'] = 2, id['7'] = 3, id['6'] = 4; for (char i = '3'; i <= '9'; i++) if(id.count(i) == 0) id[i] = ++cnt; cin >> n >> q; scanf("%s", ch + 1); buildtree(1, n, 1); for (int i = 1; i <= q; i++){ int ql, qr; scanf("%d%d", &ql, &qr); init(ans); query(ql, qr, 1, n, 1); if (ans.dp[0][4] >= inf) puts("-1"); else printf("%d\n", ans.dp[0][4]); } return 0; }
关键：线段树合并
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十一：
十二：
十三：
