Red is good (DP)

题目

Problem Description

桌面上有R张红牌和B张黑牌，随机打乱顺序后放在桌面上，开始一张一张地翻牌，翻到红牌得到1美元，黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。 输出答案时,小数点后第六位后的全部去掉,不要四舍五入.

Input

一行输入两个数R,B,其值在0到5000之间

Output

在最优策略下平均能得到多少钱。

Sample Input

5 1

Sample Output

4.166666

分析

• 题目的意思大概就是给一堆牌，有“+1”有“-1”，确定一种拿法（从上往下拿k张之后停止），对于所有这副牌的排列顺序，使最终这些得分的平均値最大，求出这个最大的平均値。（其实就是求最大的期望值）
• 创建一个数组 E[i][j] 代表有 i 个红牌（+1）和 j 个黑牌（-1）时所能得到的最大期望值。
• 所以对于E[i][j]，我们可以由 E[i-1][j] 和 E[i][j-1] 推出，相当于是翻一张红牌或翻一张黑牌到达当前状态。乘一下相应的概率就行了。
• 那么就有

\[E_{(i,j)}=\frac{i}{i+j}*(E_{(i-1,j)}+1)+\frac{j}{i+j}*(E_{(i,j-1)}-1) \]

• 注意，当E[i][j]求得小于零时，你当然是希望更大，于是你会将它赋值为0（可以想象宁可保证为0也不想要有可能为负数）
• 其实，除了这样倒着推，也可以顺着推，可以自己想一想，下面程序也有（其实差不多）

程序

• 由后面得出当前（倒着推）（被动）

#include <cstdio> 
double E[5010][5010];
int R,B;

int main(){
	scanf("%d%d",&R,&B);
	for (int i=0; i<=R; i++)
		for (int j=0; j<=B; j++){
			if (i>0) E[i][j]+=(double)i/(double)(i+j)*(E[i-1][j]+1);
			if (j>0) E[i][j]+=(double)j/(double)(i+j)*(E[i][j-1]-1);
			if (E[i][j]<0) E[i][j]=0;
		}
	printf("%.6f",E[R][B]-0.0000005);
}

• 由当前更新后面（顺着推）（主动）

#include<cstdio> 
int R,B;
double E[5010][5010];

int main(){
	scanf("%d%d",&R,&B);
	for (int i=0; i<=R; i++){
		for (int j=0; j<=B; j++){
			if (E[i][j]<0) E[i][j]=0;
			E[i+1][j]+=(double)(i+1)/(double)(i+j+1)*(E[i][j]+1);
			E[i][j+1]+=(double)(j+1)/(double)(i+j+1)*(E[i][j]-1);
		}
	}
	printf("%.6f",E[R][B]-0.0000005);
}

注意

• 题目中要求的是第六位之后的数直接去掉，不要求四舍五入，可以用到ans-0.0000005这一小技巧。
• 记住一点：

和的期望等于期望的和