笔记 树状数组--区间查询+区间修改

参考：点击打开链接
区间修改+区间查询的树状数组，实际上是用两个树状数组来表示一个数组
用a[i]表示原数组，
d[i]=a[i]-a[i-1](a[i]视为0)
关于

的说明：

a[1]+a[2]+...+a[x]
=d[1]+(d[1]+d[2])+(d[1]+d[2]+d[3])+...+(d[1]+d[2]+...+d[x])
=d[1]*x+d[2]*(x-1)+...+d[x]*1
=sigma(1<=i<=x)(x-i+1)*d[i]
=(sigma(1<=i<=x)d[i])*(x+1)-sigma(1<=i<=x)d[i]*i
因此，可以只在树状数组中记录d[i]的前缀和还有d[i]*i的前缀和
为什么要这样做？
举个例子：
操作前：

i	0	1	2	3	4	5	6
a	0	1	2	3	4	5	6
d	/	1	1	1	1	1	1
di*i	/	1	2	3	4	5	6

将a[3]到a[5]加上2后：

 

i	0	1	2	3	4	5	6
a	0	1	2	5	6	7	6
d	/	1	1	3	1	1	-1
di*i	/	1	2	9	4	5	-6

如上，将a[3]到a[5]都加上2，只需要将d[3]加2，d[6]减二，再修改对应d[i]*i的值即可
将a[i]到a[j]加上k，需要将d[i]加k，d[j+1]减k，d[i]*i加上k*i，d[j+1]*(j+1)减去k*(j+1)

用这种方法，区间修改只需要修改四个值就行了（因为树状数组的存储方式，实际会更多，这里指的是树状数组还原为普通数组后其中的值）
如何求和？
举个例子：
对于上面第二张表，计算sigma(2<=i<=4)a[i]:
首先sum(4)=5*6-16=14
然后sum(1)=2*1-1=1(原因见上面"关于.....的说明")
返回14-1=13
计算sigma(l<=i<=r)a[i]:
首先sum(r)=(r+1)*sigma(1<=i<=r)d[i]-sigma(1<=i<=r)i*d[i]
sum(l-1)=l*sigma(1<=i<=l-1)d[i]-sigma(1<=i<=l-1)i*d[i]
将它们相减即可

 

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL d1[500100],d2[500100];
LL n,m;
LL lowbit(LL x)
{
	return x&-x;
}
void add(LL pos,LL num,LL* d)
{
	while(pos<=n)
	{
		d[pos]+=num;
		pos+=lowbit(pos);
	}
}

void plus(LL l,LL r,LL k)
{
	add(l,k,d1);
	add(r+1,-k,d1);
	add(l,k*l,d2);
	add(r+1,-k*(r+1),d2);
}
LL sum1(LL x,LL* d)
{
	LL ans=0;
	while(x>0)
	{
		ans+=d[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}

//int sum(int r)
//{
//	return (r+1)*sum1(r,d1)-sum1(r,d2);
//}
LL sum(LL l,LL r)
{
	return (r+1)*sum1(r,d1)-sum1(r,d2)-l*sum1(l-1,d1)+sum1(l-1,d2);
}

//
//void print()
//{
//	int i;
//	for(i=1;i<=n;i++)
//		printf("%d ",sum1(i,d1)-sum1(i-1,d1));
//	printf("\n");
//	for(i=1;i<=n;i++)
//		printf("%d ",sum1(i,d2)-sum1(i-1,d2));
//	printf("\n");
//}
int main()
{
	LL i,a,x,y,k;
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	LL t1=0,t2;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&t2);
		add(i,t2-t1,d1);
		add(i,(t2-t1)*i,d2);
		t1=t2;
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		//print();
		scanf("%lld",&a);
		if(a==1)
		{
			scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k);
			plus(x,y,k);
		}
		else
		{
			scanf("%lld",&x);
			printf("%lld\n",sum(x,x));
		}
	}
	return 0;
}